T2 中国麻将中的数学问题七院一队：韩翔罗皓飞高欣飞编号：7503摘要麻将起源于中国，它不仅具有独特的游戏特点，而且具有集益智性、趣味性、博弈性于一体的运魅力及内涵丰富、底蕴悠长的东方文化特征，成为中国传统文化宝库中的一个重要组成部分。

越来越多的研究表明：麻将里面蕴藏着历史的、哲学的、数理的、心理的、逻辑学的、医学的等各门类的知识和秘密。

这里通过麻将规则中的番值、各种牌型的分析来计算，各种番值糊到的概率大小而分析番值种类的合理性和规律，并结合国家体育中心关于麻将比赛番值分布统计结果，此处建立一般的计算概率的模型，做出部分合理的必须的假设，计算出各种牌型出现的概率，模型能反映出概率的变化并利用既得概率，相比较分析出相应的比值，以及牌型规定番值的比，看两者是否成线性比，来看番值规定的合理性与规律，通过对模型的处理可得到大致的规律为：牌型发生的概率越小，其番值越大。

并且呈一定的线性比，但番值规定存在一定的不足不能很好的反映牌型发生的可能性大小。

一、问题重述麻将取胜得到的番值越大，概率就越小，试分别计算表中各种情况的概率。

二、假设1.比赛相对公平公正，参加人员水平相当，水平发挥正常，无意外情况发生；2.打牌、摸牌均是随机事件，且打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的；3.不使用字牌中的花牌；4.手中的牌与所有的牌性质一样，但因为手中的牌是人通过主观推断而留下来的牌，则其更有利，即更容易组成对子、顺子、刻子，其比随机事件更好。

即手中的牌有用率比打出的牌或未摸完的牌服从线性比，设其为P ；5.手中的牌能够成为刻子、顺子、对子等的概率与整副牌随机组成刻子、顺子、对子的概率成正比；6.各种可能的糊牌牌型是等可能的。

三、符号说明i C 代表番值 i P 对应番值i C 的概率四、问题分析先初步估计ijj i P P C C ，估计可能会有个别特殊例子。

模型中糊的番数越大则其相应的的概率越小，通过模型算出各番种的概率，比较各番种概率的比值，从而对番种分值确定的合理性做出判断，找出确定分值的误差。

可以根据找出的不同番种的概率分析出其中的规律，与第六项番种分值确定的规律比对，得出正确规律。

五、模型的建立与求解建立一般求解概率模型因为人手中必须有53张牌才能糊，即糊的一家14张牌其余三家各13张牌，共有53136C 种组合。

1. 大三元：对于大三元，因为其牌型规定必须有“中发白”三副刻子，所以至少有“中发白”个三张，故至少有九张牌确定。

其组合种数有34种。

由假设，打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的，因为要糊大三元所以“中发白”三副刻子必须在一家人手里。

而这三副刻子在一家人手里的概率为941，对于其余的44张牌，有44127C 种组合。

糊大三元的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为31083C 347⨯⨯； 对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为3124C 44349⨯+⨯⨯； 对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为2124C 464-369⨯+⨯⨯。

由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为1P =P C 34731083•⨯⨯，2P =P C 443493124•⨯+⨯⨯，3P =P C 464-3692124•⨯+⨯⨯。

由以上分析知，有“中发白”三副刻子在一家人手里的概率为95313634412741C 4C ⨯⨯，对于两种可能的糊牌牌型，其概率为等可能的，即1/3。

对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为21P P ⨯； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为31P P ⨯。

可得：大三元牌型的概率为P)C 464-369P C 347P C 44349P C 347(21441C 4C 212431083312431083953136344127•⨯+⨯⨯⨯•⨯⨯+•⨯+⨯⨯⨯•⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯由附件可知出现频数为6310016实际频数：3279519232。

2. 小四喜因为和牌时有风牌的3副刻子及将牌，所以对风牌的这三副刻子的排列数有33434)C (C ⨯种。

确定了这9张牌之后人手中还剩44张牌，这44张牌的排列组合数为44129C 。

糊小四喜的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为31083C 347⨯⨯； 对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为3124C 44349⨯+⨯⨯； 对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为2124C 464-369⨯+⨯⨯。

由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为1P =P C 34731083•⨯⨯，2P =P C 443493124•⨯+⨯⨯，3P =P C 464-3692124•⨯+⨯⨯。

由以上分析知，有风牌的三副刻子在一家人手里的概率为()953136334344412741C C C C ⨯⨯⨯，对于两种可能的糊牌牌型，其概率为等可能的，即1/3。

对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为21P P ⨯； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为31P P ⨯。

可得：小四喜牌型的概率为()P)C 464-369P C 347P C 44349P C 347(21441C C C C 2124310833124310839531363343444127•⨯+⨯⨯⨯•⨯⨯+•⨯+⨯⨯⨯•⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 3. 小三元因为和牌时有箭牌的2副刻子及将牌，所以对将牌的这三副刻子的排列数有23423)C (C ⨯种。

确定了这6张牌之后人手中还剩47张牌，这47张牌的排列组合数为47130C 。

糊小三元的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111(3)11、123、123、111、111对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为31083C 347⨯⨯； 对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为3128C 349⨯⨯； 对刻子111分析，为风牌、箭牌的概率为3128C 444⨯+； 对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为2128C 4-369⨯⨯。

对将牌11分析，为风牌、箭牌的概率为312824C 64C ⨯+由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为1P =P C 34731083•⨯⨯，2P =P C 4443493128•+⨯+⨯⨯，3P =P C 6464-3692128•+⨯+⨯⨯。

由以上分析知，有箭牌的二副刻子在一家人手里的概率为()653136234234713041C C C C ⨯⨯⨯，对于三种可能的糊牌牌型，其概率为等可能的，即1/3。

对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为321P P P ⨯⨯； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为223P P P ⨯⨯。

对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为311P P P ⨯⨯ 可得：小三元牌型的概率为()P)C 6464-369P C 347P C 347P C 464-369P C 444349P C 444349P C 6464-369P C 444349P C 347(31441C C C C 3128310833108321283128312821283128310836531362342347130•+⨯+⨯⨯⨯•⨯⨯⨯•⨯⨯+•⨯+⨯⨯⨯•+⨯+⨯⨯⨯•+⨯+⨯⨯+•+⨯+⨯⨯⨯•+⨯+⨯⨯⨯•⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯4. 清一色如果要糊清一色则至少必然要有14张同一种花色的序数牌。

组合数为14363C 。

对于其余人手中的39张牌其组合数有39123C 种。

糊清一色的牌型可以为：(1)11、123、123、123、123 (2)11、123、123、123、111 (3)11、123、123、111、111 (4)11、123、111、111、111 (5)11、111、111、111、111任取一种花色14张牌，因为要糊清一色，设这14张牌为糊牌人手中的牌型。

对于一种花色任取三张为123的概率为3363C 47⨯设其样本空间很大可以看成是有放回的抽样，所以取到111的概率为336C 49⨯，而取到将牌11的概率为236C 69⨯。

因为有上边假定取得14张牌，则其它人手中还有39张牌，其排列数为39122C 。

对于牌型(1)，其概率为P C 47C 6943363236•⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯； 对于牌型(2), 其概率为P C 49C 47C 6933633363236•⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯；对于牌型(3), 其概率为P C 492C 47C 6923363363236•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯； 对于牌型(4), 其概率为P C 49C 47C 6933363363236•⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯； 对于牌型(5), 其概率为P C 49C 694336236•⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯。

由以上可得清一色的概率为，⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧•⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯+•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯+•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯+•⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯+•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯⨯P C 49C 69P C 49C 47C 69P C 492C 47C 69P C 49C 47C 69P C 47C 69514C C 4336236333633632362336336323633633363236433632365313639122 其余番值计算同理可得：……（由于时间原因，只对其余的番值做了定性估测）六、模型检验在网上校对有关麻将迷友们的经验和总结，基本符合上述模型。

七、结果分析1、合理性⑴有已知模型分析可知，绝大部分番值（除青龙和花龙外）满足：番值越高，概率越小。

⑵由题中所取的模型计算可知：16番青龙和8番花龙牌型出现的概率是相同的，对于模型来说这是不合理的，但实际上由于青龙牌型的花色较为单一，而花龙的牌型的花色则更为繁杂，因此一般情况下人们会主观地倾向于糊花龙而放弃去糊青龙，这实际上加大了糊青龙的难度，减少了它出现的概率。

故此处将青龙的番值设定为比花龙大的番值是具有实际合理性的。

2、规律性越高番值越难以发生，大多是小概率事件。

3、不足我们经常见到有人胡大三元，而很少人胡到清一色、青龙、全大。

加上很多人半途而废，还有对手的屁胡打乱，能胡以上满贯的，实在是难上加难了！八、模型的进一步讨论但参加人员的水平悬殊时，主观因素也会占一个相对较大的比例来影响最终的结果。

此时水平较高的人实现番值i C 的概率i P 修正为)Q 1(P `P i i +=，0Q >取决于该水平反差的大小，如心理素质，智力水平等。