鼓楼区2020年模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．“鼓楼e 学校—停课不停学在线课堂”在此次疫情期间为全国师生提供鼓楼教育的“云服务”，课程日均访问量达1 200 000．用科学记数法表示1 200 000是 A ．0.12×106B ．1.2×107C ．1.2×106D ．12×1052．4表示4的 A ．平方B ．平方根C ．算术平方根D ．立方根3．数轴上，点A 、B 分别表示－1、7，则线段AB 的中点C 表示的数是A ．2B ．3C ．4D ．54． 已知5≤a ≤7，4≤b ≤6，则a ＋b 的整数部分可以是A ．9B ．10C ．11D ．125．某班37名同学中只有1位同学身高是165 cm ．若除甲、乙外其余35名同学身高的平均数和中位数都是165 cm ，则该班37名同学身高的平均数a 和中位数b （单位：cm ），不可能是A ．a ＞165，b ＝165B ．a ＜165，b ＝165C ．a ＜165，b ＝164D ．a ＝165，b ＝1666． 如图， A 、B 两地相距a m ，它们之间有一半径为r 的圆形绿地（r ＜a2），绿地圆心位于AB 连线的中点O 处，分别过A 、B 作⊙O 的切线相交于C ，切点分别为D 、E ．现规划两条驾车路径：①B →E →C →D →A ； ②B →E →（沿⌒ED ）→D →A ，则下列说法正确的是 A ．①较长 B ．②较长C ．①②一样长D ．以上皆有可能二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．写出一个数，使这个数等于它的倒数： ▲ ． 8．若式子x －1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ．9．计算32＋12的结果是▲ ．10．方程2x －3＝3x的解是 ▲ ． 11．已知方程2x 2＋4x －3＝0的两根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝ ▲ ，x 1x 2＝ ▲ ． 12．数据2，3，2，3，5的方差是 ▲ ． 13．若正比例函数y ＝k 1x 的图像与反比例函数y ＝k 2x的图像都经过点（2，3），则k 1x ＝k 2x的解是 ▲ ．14． 如图，O 是正五边形ABCDE 的中心，连接BD 、OD ，则∠BDO ＝ ▲ °．ABCODE（第6题）•15． 如图，BC 是⊙O 的切线，D 是切点．连接BO 并延长，交⊙O 于E 、A ，过A 作AC ⊥BC ，垂足为C ．若BD ＝8，BE ＝4，则AC ＝ ▲ ．16．用若干个相同的小正方体搭一个几何体，该几何体的主视图、俯视图如图所示．若小正方体的棱长为1，则搭成的几何体的表面积是 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）计算aa －1＋3a －1 1－a 2．18．（7分）（1）解不等式5x ＋2≥3(x －1)，并把它的解集在数轴上表示出来．（2）写出一个实数k ，使得不等式x ＜k 和（1）中的不等式组成的不等式组恰有3个整数解．123（第18题）－3 －2 －1A BCDEO（第14题）ABCDO E（第15题）主视图俯视图 （第16题）•19．（7分）如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交直线AB 、CD 于点G 、H ， GI 、HI 分别平分∠BGH 、∠GHD ．（1）求证GI ⊥HI ．（2）请用文字概括（1）所证明的命题： ▲ ．20．（8分）下面是某区1 500名小学生和初中生的视力情况和他们每节课课间户外活动平均时长的统计图．ABCDEFGHI（第19题） 0时长人数百分比(%)0~2分钟5 10 15 20 25 3035402~4分钟 4~6分钟 6~8分钟8分钟以上 图3 某区1 500名小学生和初中生每节课课间户外活动平均时长分布统计图小学 初中 600 400 200 12001000800图1 某区1 500名小学生和初中生近视情况条形统计图 类别 总人 数近视 人数420600360900人数 0小学初中0 近视率(%)一 二 三 四 五 六 七 八 九 2040 60 80 100 年级图2 某区1 500名小学生和初中生各年级近视率折线统计图总 人 数近视 人数（1）根据图1，计算该区1500名学生的近视率；（2）根据图2，从两个不同的角度描述该区1500名学生各年级近视率的变化趋势；（3）根据图1、图2、图3，描述该区1500名学生近视率和所在学段（小学、初中）、每节课课间户外活动平均时长的关系．21．（8分）（1）不透明的袋子A中装有红球1个、白球1个，不透明的袋子B中装有红球1个、白球2个，这些球除颜色外无其他差别．分别从两个袋子中随机摸出一个球，求摸出的两个球颜色不同的概率；（2）甲、乙两人解同一道数学题，甲正确的概率为13，乙正确的概率为14，则甲乙恰有一人正确的概率是 ▲ ．22．（8分）点E 、F 分别是菱形ABCD 边BC 、CD 上的点． （1）如图，若CE ＝CF ，求证AE ＝AF ；（2）判断命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．23．（8分）某工厂生产A 、B 、C 三种产品，这三种产品的生产数量均为x 件．它们的单件成本和固定成本如下表：（第22题）A BCD EF（备用图）A BCD（注：总成本＝单件成本×生产数量＋固定成本）（1）若产品A的总成本为y A，则y A关于x的函数表达式为▲．（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同．①求a；②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围．24．（8分）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半径；（2）求AD的长．产品单件成本（元/件）固定成本（元）A 0.1 1100B 0.8 aC b（b＞0）200AB CDO（第24题）25．（8分）如图，用一个平面去截正方体ABCDEFGH ，得到了三棱锥S －DPQ ．若∠SPD＝45°，∠SQD ＝37°，PQ ＝1，求SD 的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75．）26．（10分）已知y 是x 的二次函数，该函数的图像经过点A （0，5）、B （1，2）、C （3，2）．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图像并标注顶点及其坐标； （2）结合图像，回答下列问题：①当1≤x ≤4时，y 的取值范围是 ▲ ；②当m ≤x ≤m ＋3时，求y 的最大值（用含m 的代数式表示）；③是否存在实数m 、n （m ≠n ），使得当m ≤x ≤n 时，m ≤y ≤n ？若存在，请求出m 、（第25题）A BCDEFGHDSPQn；若不存在，请说明理由．27．（9分）如图，已知矩形纸片ABCD．怎样折叠，能使边AB 被三等分？以下是小红的研究过程．思考过程要使边AB被三等分，若从边DC上考虑，就是要折出DM＝13DC，也就是要折出DM＝13AB，当DB、AM相交于F时，即要折出对角线上的DF＝14DB．那么……折叠方法和示①折出DB；对折纸片，使D、B重合，得到的折痕与DB相交于点E；继续折叠纸片，使D、B与E重合，得到的折痕与DB分别相交于点F、G；②折出AF、CG，分别交边CD、AB于M、Q；③过M折纸片，使D落在MC上，得到折痕MN，则边AB被N、Q三等分．A BCD①②③CD PMCD MFGCDFGE（1）整理小红的研究过程，说明AN＝NQ＝QB；（2）用一种与小红不同的方法折叠，使边AB被三等分．（需简述折叠方法并画出示意图）鼓楼区2019-2020学年度第二学期调研测试卷九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．1 （答案不唯一） 8．x ≥0 9．22 10．x ＝9 11．－2，－3212．65 13．x 1＝2，x 2＝－2． 14．18° 15．485 16．28或30三、解答题（本大题共11小题，共88分．）17．（本题7分）解：a a －1＋3a －11－a 2＝a a －1－3a －1a 2－1 ＝aa －1－3a －1(a －1)(a ＋1)＝a (a ＋1)－(3a －1)(a －1)(a ＋1)＝a 2＋a －3a ＋1(a －1)(a ＋1)＝(a －1)2(a －1)(a ＋1)＝a －1a ＋1． ........................................................................................................................ 7分18．（本题7分）（1）解：去括号，得5x ＋2≥3x －3．移项，得5x －3x ≥－3－2． 合并同类项，得2x ≥－5．系数化为1，得x ≥－52． ............................................................................................ 3分这个不等式的解集在数轴上表示如下图所示．.............................................................. 5分（2）答案不唯一，例如k ＝1． ....................................................................................... 7分19．（本题7分） （1）证明：∵ AB ∥CD ， ∴ ∠BGH ＋∠GHD ＝180°．∵ GI 、HI 分别平分∠BGH 、∠GHD ， ∴ ∠HGI ＝12∠BGH ，∠GHI ＝12∠GHD ．∴ ∠HGI ＋∠GHI ＝12∠BGH ＋12∠GHD ＝12(∠BGH ＋∠GHD )＝12×180°＝90°．∴ ∠I ＝90°．∴ GI ⊥HI ． .................................................................................................................................. 5分 （2）两平行直线被第三条直线所截得的一对同旁内角的角平分线互相垂直． .............. 7分20．（本题8分）（1）360＋420900＋600＝7801500＝0.52，0.52×100%＝52%．答：该区1 500名学生的近视率为52%． ............................................................................. 2分 （2）答案不唯一，例如：从该区1 500名学生各年级近视率折线统计图可以看出，学生年级越高，近视率也越高，其中从二年级到三年级以及从四年级到六年级学生近视率增长较快，从三年级到四年级以及从七年级到九年级学生近视率增长较慢． ....................................................................................... 5分123－3 －2 －1 －52（3）答案不唯一，例如：从该区1 500名小学生和初中生的课间户外活动时长分布统计图可以看出，初中生约8成学生课间户外活动时长不超过6分钟，小学生只有约6成．该区600名初中学生近视率为420600×100%＝70%，900名小学生近视率为360900×100%＝40%，结合（2）可以看出，相对于小学生，初中学生课间户外活动时长偏少的比例较大，近视率也较高；.......................................................................................................................................................... 8分21．（本题8分）解：（1）记袋子A 中的球为红1、白1，记袋子B 中的球为红2、白2、白3．可能结果如下：（红1，红2），（红1，白2），（红1，白3）， （白1，红2），（白1，白2），（白1，白3）． 所有可能的结果共6种，它们出现的可能性相同，其中“摸出的两个球颜色不同”（记为事件C ）包含其中3种结果．所以P (C )＝12． .................................................................................................................... 6分（2）512． ...................................................................................................................................... 8分22．（本题8分）证明：（1）∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴ AB ＝AD ，CB ＝CD ，∠B ＝∠D ． ∵ CE ＝CF ，∴ CB －CE ＝CD －CF ，即BE ＝DF ． ∴ △ABE ≌△ADF ．ABCDEF∴ AE ＝AF ．.......................................................................................................................................................... 5分 （2）假命题，反例如图． ......................................................................................................... 8分23．（本题8分）解：（1）y ＝0.1x ＋1 100； ....................................................................................................... 2分（2）①依题意，0.1×1 000＋1 100＝0.8×1 000＋a解得， a ＝400； ............................................................................................................... 5分②0.1×2 000＋1 100＝2 000b ＋200解得， b ＝0.55；由图，若生产数量不超过2 000件时， 产品C 的总成本最低，则0＜b ≤0.55．............................................................................................................................................. 8分24．（本题8分）解：（1）如图，连接OB 、O C ． ∵ ∠BAC ＝45°， ∴ ∠BOC ＝90°．xyOy Ay B y C2000 200 400 1100ABCD O（第24题）G H∵ BD ＝6，DC ＝4，∴ BC ＝BD ＋DC ＝6＋4＝10． ∵ ∠BOC ＝90°，OB ＝OC ， ∴ OB 2＋BC 2＝2OB 2＝BC 2＝100． ∴ OB ＝52．∴ ⊙O 的半径为52． ......................................................................................................... 4分（2）连接OA ，分别过O 作OG ⊥BC ，OH ⊥AD ，垂足为G 、H ． ∴ BG ＝GC ＝12BC ＝5．∴ OG ＝12BC ＝5．∴ GD ＝BD －BG ＝6－5＝1． 易得，四边形OGDH 是矩形， ∴ HD ＝OG ＝5 ，OH ＝GD ＝1． ∴ OA ＝52，AH ＝OA 2－OH 2＝7 ．∴ AD ＝AH ＋HD ＝7＋5＝12．答：AD ＝12． .............................................................................................................................. 8分25．（本题8分）如图，设SD ＝x ．在△SDQ 中，∠SDQ ＝90°，则tan ∠SQD ＝SDDQ．∴ DQ ＝xtan37°．在△SDP 中，∠SDP ＝90°，则tan ∠SPD ＝SDDP．∴ DP ＝xtan45°＝x ．在△PDQ 中，∠PDQ ＝90°， ∴DP 2＋DQ 2＝PQ 2，即x 2＋(xtan37°)2＝12，解得x ＝0.6．答：SD ＝0.6． ................................................................................................................. 8分26．（本题10分）解：（1）设二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， 二次函数的图像经过点A （0，5），所以c ＝5． 把x ＝1，y ＝2和x ＝3，y ＝2代入y ＝ax 2＋bx ＋5，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4．所以，该二次函数关系式为y ＝x 2－4x ＋5． ......................................................................... 2分y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，顶点坐标为（2，1），大致图像如图所示．.......................................................................................................................................................... 4分xyO（2，1）（0，5）（2）①1≤y ≤5； ......................................................................................................................... 5分 ②根据图像，当m ＝12时，m ＋3＝72，此时y 的最大值是134 ；当m ＜12时，y 的最大值是m 2－4m ＋5；当m ＞12时，y 的最大值是(m ＋3)2－4(m ＋3)＋5＝m 2＋2m ＋2． ................................. 8分③根据图像，若当m ≤x ≤n 时，m ≤y ≤n ，则⎩⎨⎧m 2－4m ＋5＝m ，①n 2－4n ＋5＝n ．②或者⎩⎨⎧m 2－4m ＋5＝n ，①n 2－4n ＋5＝m ．②对于⎩⎨⎧m 2－4m ＋5＝m ，①n 2－4n ＋5＝n ．② ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5－52，n ＝5＋52．，结合图像，当5－52≤x ≤5＋52时，1≤y ≤5＋52，而当1≤x ≤5＋52时，1≤y ≤5＋52，所以⎩⎨⎧m ＝1，n ＝5＋52．对于⎩⎨⎧m 2－4m ＋5＝n ，①n 2－4n ＋5＝m ．②，①－②，得m 2－n 2－4m ＋4n ＝n －m ．整理，得m 2－n 2－3m ＋3n ＝0． 因式分解，得(m －n ) (m ＋n －3)＝0． 因为m ≠n ，所以m ＋n －3＝0，即m ＝3－n ． 把m ＝3－n 代入n 2－4n ＋5＝m ，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2．或者⎩⎨⎧m ＝2，n ＝1．(舍) 综上，⎩⎨⎧m ＝1，n ＝5＋52．或 ⎩⎨⎧m ＝1，n ＝2．． .................................................................................... 10分27．（本题9分）（1）证明：由折叠，DF ＝FE ＝EG ＝GB ， ∴DF BF＝BG GD ＝13.∵ DC ∥AB ，∴ △DFM ∽△BFA ，△BGQ ∽△DG C ． ∴DM BA＝DF BF ＝13；BQ DC ＝BG DG ＝13． 由折叠易得，四边形ANMD 是矩形，AN ＝DM ＝13AB ，BQ ＝13DC ＝13AB ，∴ AN ＝NQ ＝QB ． ............................................................................................................... 4分 （2）答案不唯一，例如：如图，①对折纸片，使A 、B 分别落在AD 、BC 上的G 、H 处，得到折痕EF ； ②继续折叠，使E 、F 分别落在AD 、BC 上的I 、J 处，得到折痕EF ，折出IJ ； ③过A 折纸片，使B 落在IJ 上的B ′处，折出AB ′，AB ′与EF 、GH 分别交于P 、Q ．P 、Q 三等分AB ．如图，①对折纸片，使AD 、BC 重合，得到折痕EF ．ABC D E F G H I J ABC D E F G H I JPQB′②折出DB ，展平纸片，折出AE 、CF 和DB 分别相交于G 、H ．③过G 折叠纸片，使A 、D 分别落在AB 、DC 上，得到折痕MN ；展平纸片，过H 折叠纸片，使B 、C 分别落在AB 、DC 上，得到折痕PQ ． 则N 、Q 三等分AB ．.......................................................................................................................................................... 9分ABCDEFGH ABCDEFABCDEFGHM NPQ。