江苏省南京市鼓楼区2016-2017学年九年级（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根2．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y=2x﹣1 B．y=﹣C．y=x﹣x2D．y=+x3．一组数据1，3，5，8，x的中位数是5，则下列x的取值中，满足条件的是（）A．2 B．3 C．4 D．64．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD=1，OC=3，AD=2，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．95．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C=28°，则∠OBA的度数为（）A．28°B．56°C．57°D．62°6．如图，反比例函数y1=与二次函数y1=ax2+bx+c图象相交于A、B、C三个点，则函数y=ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分）7．已知=，则=．8．二次函数y=﹣x2+3x图象的对称轴是．9．线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足=，那么AP的长为cm．10．某公司2016奶奶10月份营业额为60万元，12月份营业额达到100万元，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为．11．已知⊙A的直径是8，点A的坐标是（3，4），那么坐标原点O在⊙A的．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）12．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）13．如图（1）是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是如图（2）所示的扇形．如果A，B两点的距离为18m，那么这种装置能够喷灌的草坪面积为m2．14．如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=6，AD⊥BC，垂足为D，则BD的长为．15．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c=0；④若B（m2+1，y1）、C（m2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；⑤当﹣1≤x≤3时，y≥0．其中正确的结论是．（填写正确结论的序号）16．如图，△ABC中，AB=17，AC=10，BC=21，则△ABC的外接圆⊙O的半径的长为．三、解答题（本题共11小题，共88分）17．（8分）解方程（1）2x2+5x=4（2）2（x﹣2）2=（x﹣2）18．（8分）初二某班体育老师对A、B两组各10名男生“立定跳远”项目进行了检测，两组成绩（满分13分）如下：A 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12B 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两组的平均成绩；（2）哪个组成绩比较整齐？19．如图（1），△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且=．求证：△ADE∽△ABC．（2）将矩形ABCD对角线平均分成12段，连接成图（2），若矩形ABCD内部空白部分面积总和是10cm2，则阴影部分面积总和是cm2．20．（7分）甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规划规定：两队之间进行2局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假设甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同．（1）甲3局全胜的概率是；（2）如果甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”方法写出解答过程）21．（8分）已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（2k+1）x+1=0．（1）若方程有实数根，求k的取值范围；（2）若方程有两个互为相反数的实数根，求k的值，并求此时方程的根．22．（6分）如图，图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点G为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上．（1）画出位似中心点G；（2）若点A、B在平面直角坐标系中的坐标分别为（﹣2，1），（1，3），点P （m，n）是线段AC上任意一点，则点P在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为．23．（8分）如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．24．（8分）已知：如图，△ABC的中线BD、CE交于点O．（1）求证：=；（2）求证：△ABC的三条中线交于一点．25．（10分）已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象可以由二次函数y2=﹣2x2的图象平移得到且经过点（2，﹣10）和（0，6）．（1）求二次函数y1的表达式，并写出此函数图象顶点D的坐标；（2）求二次函数y1=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标；（3）若ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则写出k的取值范围为；（4）若m≤x≤m+4时，﹣10≤y1≤8，则m的值为．26．（8分）为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为30元/盒的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每盒售价40元时，每天能出售500盒，并且售价毎上涨1元，其销售量将减少10盒，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的180%．（1）求每天销售利润y（元）与每盒售价x（元）之间的函数关系式，并求每天销售利润的最大值；（2）如果超市想要每天获得利润不少于8000元，求售价的范围．27．（10分）如图，已知⊙O过边长为4的正方形ABCD顶点A、B．（1）若⊙O与边CD相似．①请用直尺和圆规作出⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；②求⊙O的半径；（2）过点O作MN⊥AB，分别交AB、CD于点M、N，⊙O与边AD交于点E，与线段MN交于点F，连接EN、AF，当△DEN与△AFM相似时，画出图形，并在图形下方直接写出⊙O的半径长．（注：若有多种情况，每种情况单独用一个图形表示）2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】先计算出判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【解答】解：△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）=9＞0，所以方程有两个不相等的两个实数根．故选A．【点评】本题考查了根的判别式：用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．2．下列函数中，y是x的二次函数的是（）A．y=2x﹣1 B．y=﹣C．y=x﹣x2D．y=+x【考点】二次函数的定义．【分析】分别利用函数的定义进而分析得出答案．【解答】解：A、y=2x﹣1，是一次函数，故此选项错误；B、y=﹣，是反比例函数关系，故此选项错误；C、y=x﹣x2，是二次函数关系，故此选项正确；D、y=+x是复合函数，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．3．一组数据1，3，5，8，x的中位数是5，则下列x的取值中，满足条件的是（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】中位数．【分析】方法一、分别求出x=2、3、4、5时数列的中位数即可得．方法二、利用中位数的求法和此组数据的特点确定出x的范围即可．【解答】解：方法一、A、若x=2，则数列为1，2，3，5，8，中位数为3，此选项错误；B、若x=3，则数列为1，3，3，5，8，中位数为3，此选项错误；C、若x=4，则数列为1，3，4，5，8，中位数为4，此选项错误；D、若x=6，则数列为1，3，5，6，8，中位数为5，此选项正确；方法二、∵一组数据1，3，5，8，x共5个数，∴中位数是最中间的一个即：第三个数，∵比5小的数有两个1和3，∴不小于5的是5，8，x，即x≥5．故选：D．【点评】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接CD、BE交于点O，且DE∥BC，OD=1，OC=3，AD=2，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．9【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到==，证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==，∴AB=3AD=6，故选：B．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C=28°，则∠OBA的度数为（）A．28°B．56°C．57°D．62°【考点】圆周角定理．【分析】先根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出圆心角∠AOB=56°，再利用同圆的半径相等及等边对等角求出结论即可．【解答】解：∵∠AOB=2∠C，∠C=28°，∴∠AOB=56°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA==62°，故选D．【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，应用了“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半”，比较简单．6．如图，反比例函数y1=与二次函数y1=ax2+bx+c图象相交于A、B、C三个点，则函数y=ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【分析】当y1=y2时，得到方程ax2+bx﹣+c=0，方程的解即反比例函数y1=与二次函数y1=ax2+bx+c图象交点的横坐标，于是得到函数y=ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点即是ax2+bx﹣+c=0的解，即可得到结论．【解答】解：当y1=y2时，得=ax2+bx+c，即ax2+bx﹣+c=0，∵方程的解即反比例函数y1=与二次函数y1=ax2+bx+c图象交点的横坐标，∵反比例函数y1=与二次函数y1=ax2+bx+c图象相交于A、B、C三个点，∴函数y=ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点即是ax2+bx﹣+c=0的解，∴函数y=ax2+bx﹣+c的图象与x轴交点的个数是3个，故选D．【点评】本题考查了反比例函数图形上点的坐标特征，函数图形与方程的关系，正确的理解题意是解题的关键．二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分）7．已知=，则=﹣．【考点】比例的性质．【分析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可．【解答】解：∵=，∴5（2a+3b）=12（a+2b），整理得，2a=﹣9b，所以，=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．8．二次函数y=﹣x2+3x图象的对称轴是直线x=．【考点】二次函数的性质．【分析】把二次函数解析式化为顶点式可求得答案．【解答】解：∵y=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴抛物线对称轴为直线x=，故答案为：直线x=．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．9．线段AB长10cm，点P在线段AB上，且满足=，那么AP的长为5﹣5cm．【考点】黄金分割．【分析】设AP=x，根据线段AB长10cm，得出BP=10﹣x，再根据=，求出x的值即可得出答案．【解答】解：设AP=x，则BP=10﹣x，∵=，∴=，∴x1=5﹣5，x2=﹣5﹣5（不合题意，舍去），∴AP的长为（5﹣5）cm．故答案为：5﹣5．【点评】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．10．某公司2016奶奶10月份营业额为60万元，12月份营业额达到100万元，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为60（1+x）2=100．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设平均每月的增长率为x，根据10月份的营业额为60万元，12月份的营业额为100万元，分别表示出11、12月的营业额，即可列出方程．【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意可得：60（1+x）2=100．故答案为：60（1+x）2=100．【点评】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道10月份的钱数和增长两个月后12月份的钱数，列出方程．11．已知⊙A的直径是8，点A的坐标是（3，4），那么坐标原点O在⊙A的圆外．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r 时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：d=8，r=4，OA==5＞4，故答案为：圆外．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．12．已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为15πcm2．（结果保留π）【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长=6πc，侧面面积=×6π×5=15πcm2．【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．13．如图（1）是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是如图（2）所示的扇形．如果A，B两点的距离为18m，那么这种装置能够喷灌的草坪面积为72πm2．【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．【分析】作OC⊥AB，根据垂径定理得出AC=9，继而可得圆的半径OA的值，再根据扇形面积公式可得答案．【解答】解：过点O作OC⊥AB于C点．∵OC⊥AB，AB=18，∴AC=AB=×18=9（cm），∵OA=OB，∠AOB=360°﹣240°=120°，∴∠AOC=∠AOB=×120=60°．在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2，又∵OC=OA，∴r=OA=6．∴S=πr2=72π（m2）．故答案是：72π．【点评】本题主要考查垂径定理和扇形的面积公式，熟练掌握垂径定理求得圆的半径是解题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，AB=3，BC=6，AD⊥BC，垂足为D，则BD的长为．【考点】勾股定理．【分析】根据直角三角形的性质得到∠C=30°，根据同角的余角相等得到∠BAD=∠C=30°，根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，BC=6，∴∠C=30°，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠BAD=∠C=30°，∴BD=AB=，故答案为：．【点评】本题考查的是直角三角形得到性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．15．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c=0；④若B（m2+1，y1）、C（m2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；⑤当﹣1≤x≤3时，y≥0．其中正确的结论是①②③⑤．（填写正确结论的序号）【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，a＜0；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1＞0，∴b＞0；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另个交点是（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，故③正确；∵B（m2+1，y1）、C（m2+2，y2）在对称轴右侧，m2+1＜m2+2，∴y1＞y2，故④错误；∵﹣1≤x≤3时，抛物线在x轴上方，∴y≥0，故⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．16．如图，△ABC中，AB=17，AC=10，BC=21，则△ABC的外接圆⊙O的半径的长为．【考点】三角形的外接圆与外心．【分析】作AE⊥BC于E，根据勾股定理求得EC，进而求得AE，作直径AD，连接BD，易证得△ABD∽△AEC，得出=，即可求得直径，进而求得半径．【解答】解：作AE⊥BC于E，∴AB2﹣BE2=AC2﹣EC2，设EC=x，∴172﹣（21﹣x）2=102﹣x2，解得x=6，∴EC=6，∴AE==8，作直径AD，连接BD，∴∠ABD=90°，∵∠D=∠C，∴△ABD∽△AEC，∴=，即=，∴AD=，∴⊙O的半径的长为：．故答案为．【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，相似三角形的性质和判定，勾股定理，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．三、解答题（本题共11小题，共88分）17．解方程（1）2x2+5x=4（2）2（x﹣2）2=（x﹣2）【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）公式法求解可得；（2）因式分解法求解可得．【解答】解：（1）原方程整理可得：2x2+5x﹣4=0，∵a=2，b=5，c=﹣4，∴b2﹣4ac=25﹣4×2×（﹣4）=57＞0，则x=；（2）∵2（x﹣2）2﹣（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（2x﹣5）=0，则x﹣2=0或2x﹣5=0，解得：x=2或x=．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．初二某班体育老师对A、B两组各10名男生“立定跳远”项目进行了检测，两组成绩（满分13分）如下：A 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12B 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13（1）分别计算两组的平均成绩；（2）哪个组成绩比较整齐？【考点】方差．【分析】（1）根据平均数的定义计算可得；（2）根据方差的计算公式计算可得，再根据方差的意义比较后可得答案．【解答】解：（1）==12（分），==12（分）；（2）=×[4×（13﹣12）2+3×（12﹣12）2+2×（11﹣12）2+（10﹣12）2]=1.2，=×[7×（13﹣12）2+（12﹣12）2+（11﹣12）2+（6﹣12）2]=4.4，∵S甲2＜S乙2，∴甲组比较整齐．【点评】本题主要考查平均数和方差，熟练掌握方差的计算公式和方差的意义是解题的关键．19．（1）如图（1），△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且=．求证：△ADE∽△ABC．（2）将矩形ABCD对角线平均分成12段，连接成图（2），若矩形ABCD内部空白部分面积总和是10cm2，则阴影部分面积总和是24cm2．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．（2）设矩形ABCD的面积为S，由题意S+（﹣）S+（﹣）S=10，解方程即可．【解答】（1）证明：∵=，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC．（2）解：设矩形ABCD的面积为S，由题意S+（﹣）S+（﹣）S=10，解得S=24，故答案为24．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用方程思想思考问题，属于中考常考题型．20．甲、乙两队进行乒乓球团体赛，比赛规划规定：两队之间进行2局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假设甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同．（1）甲3局全胜的概率是；（2）如果甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”方法写出解答过程）【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲3局全胜的结果数，然后根据概率公式求解；（2）画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出甲队最终获胜的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）画树状图为：共有8种等可能的结果数，其中甲3局全胜的结果数为1，所以甲3局全胜的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中甲队最终获胜的结果数为3，所以甲队最终获胜的概率=．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．21．已知关于x的方程（k2﹣1）x2+（2k+1）x+1=0．（1）若方程有实数根，求k的取值范围；（2）若方程有两个互为相反数的实数根，求k的值，并求此时方程的根．【考点】根的判别式．【分析】（1）分k2﹣1=0和k2﹣1≠0考虑，当k2﹣1=0时求出k值，将其代入原方程解之即可得出方程有解；当k2﹣1≠0时，根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．综上即可得出结论；（2）设方程的两根为x1、x2，根据根的判别式结合x1、x2互为相反数即可得出关于k的分式方程，解之即可得出k的值，将k值代入原方程后解之即可得出结论．【解答】解：（1）①当k2﹣1=0时，k=±1，当k=1时，原方程为3x+1=0，解得：x=﹣；当k=﹣1时，原方程为﹣x+1=0，解得：x=1；②当k2﹣1≠0，即k≠±1时，△=（2k+1）2﹣4（k2﹣1）=4k+5≥0，解得：k≥﹣，∴k≥﹣且k≠±1．综上所述，k≥﹣时，方程有实数根．（2）设方程的两根为x1、x2，∵方程有两个互为相反数的实数根，∴x1+x2=﹣=0，解得：k=﹣，经检验可得出k=﹣是分式方程﹣=0的解．当k=﹣时，原方程为﹣x2+1=0，解得：x1=，x2=﹣．∴当k=﹣时，方程有两个互为相反数的实数根，此时方程的根为x=±．【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根的判别式以及根与系数的关系得出方程及不等式是解题的关键．22．如图，图中小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点G为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上．（1）画出位似中心点G；（2）若点A、B在平面直角坐标系中的坐标分别为（﹣2，1），（1，3），点P （m，n）是线段AC上任意一点，则点P在△A′B′C′上的对应点P′的坐标为（2m ﹣4，2n﹣1）．【考点】作图﹣位似变换．【分析】（1）过两组对应点作直线，两直线的交点即为所求；（2）根据点A和点A的对应点、点B与点B的对应点坐标的变化规律可得．【解答】解：（1）如图，点G即为所求点，（2）∵点A（﹣2，1）对应点坐标为（﹣2×2﹣4，1×2﹣1）即（﹣8，1），点B（1，3）的对应点坐标为（1×2﹣4，2×3﹣1），即（﹣2，5），∴点P（m，n）的对应点P′的坐标为（2m﹣4，2n﹣1），故答案为：（2m﹣4，2n﹣1）．【点评】此题主要考查了位似变换以及位似图形的性质，根据题意得出O点位置是解题关键．23．如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5cm，容积是500cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．【考点】一元二次方程的应用．【分析】因为本题中容器的高是5cm，长方形铁皮的长是宽的2倍，所以可设这块铁皮的宽是xcm，则长是2xcm，容器的底面面积是（x﹣10）（2x﹣10），利用其容积是500cm3，可列出方程，进而求出答案．【解答】解：设这块铁皮的宽是xcm，根据题意得5（x﹣10）（2x﹣10）=500，解得x1=15，x2=0（舍去），所以x=15，2x=30，答：这块铁皮的长是30cm，宽是15cm．【点评】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．24．已知：如图，△ABC的中线BD、CE交于点O．（1）求证：=；（2）求证：△ABC的三条中线交于一点．【考点】三角形的重心．【分析】（1）根据三角形的重心的概念和性质证明；（2）延长AO与BC相交于点F，过点B作BH∥CE交AO的延长线于H，连接CH，证明四边形BHCO是平行四边形，根据平行四边形的性质证明．【解答】证明：（1）∵△ABC的中线BD、CE交于点O，∴点O是△ABC的重心，∴=；（2）如图，延长AO与BC相交于点F，过点B作BH∥CE交AO的延长线于H，连接CH，∵CE是△ABC的中线，∴O是AH的中点，∵BD是△ABC的中线，∴OD是△ACH的中位线，∴OD∥CH，∴四边形BHCO是平行四边形，∴BF=CF，∵AF是△ABC的中线，即三条中线交于一点O．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．25．（10分）（2016秋•南京期末）已知二次函数y1=ax2+bx+c的图象可以由二次函数y2=﹣2x2的图象平移得到且经过点（2，﹣10）和（0，6）．（1）求二次函数y1的表达式，并写出此函数图象顶点D的坐标；（2）求二次函数y1=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标；（3）若ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，则写出k的取值范围为k＜8；（4）若m≤x≤m+4时，﹣10≤y1≤8，则m的值为﹣4或﹣2．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）由二次函数y1=ax2+bx+c的图象可以由二次函数y2=﹣2x2的图象平移得到，得到a=﹣2，将（2，﹣10）和（0，6）代入y1=ax2+bx+c得方程组，于是得到结论；（2）令y=0，则﹣2x2﹣4x+6=0，解方程即可得到结论；（3）由﹣2x2﹣4x+6=k有两个不相等的实数根，得到不等式即可得到结论；（4）根据题意列不等式即可得到结论．【解答】解：（1）∵二次函数y1=ax2+bx+c的图象可以由二次函数y2=﹣2x2的图象平移得到，∴a=﹣2，将（2，﹣10）和（0，6）代入y1=ax2+bx+c得，解得：，∴y1=﹣2x2﹣4x+6；（2）令y=0，则﹣2x2﹣4x+6=0，解得：x1=1，x2=﹣3，∴二次函数y1=﹣2x2﹣4x+6的图象与x轴交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；（3）∵﹣2x2﹣4x+6=k有两个不相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×（﹣2）×（6﹣k）＞0，∴k＜8；故答案为：k＜8；（4）∵﹣10≤y1≤8，∴﹣10≤﹣2x2﹣4x+6≤8，当﹣10≤﹣2x2﹣4x+6时，解得：﹣4≤x≤2，∵m≤x≤m+4，∴m=﹣4，或m=﹣2，当﹣2x2﹣4x+6≤8时，不符合m≤x≤m+4．∴m=﹣4，或m=﹣2．故答案为：﹣4或﹣2．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，一元二次方程根的判别式，解不等式，根据题意列不等式是解题的关键．26．为满足市场需求，某超市在端午节前夕购进价格为30元/盒的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每盒售价40元时，每天能出售500盒，并且售价毎上涨1元，其销售量将减少10盒，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的180%．（1）求每天销售利润y（元）与每盒售价x（元）之间的函数关系式，并求每天销售利润的最大值；（2）如果超市想要每天获得利润不少于8000元，求售价的范围．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可得到结论；（2）根据题意，令利润等于8000，然后再根据y关于x的关系式，从而可以解答本题．【解答】解：（1）根据题意得：y=（x﹣3）[500﹣10（x﹣40）]=﹣10x2+1200x ﹣27000，配方得，y=﹣10（x﹣60）2+9000，∵a＜0，∴x＜60时，y随x的增大而减小，∵该品牌粽子售价不能超过进价的180%，∴当x=54时，y由最大值，此时，y=﹣10×（54﹣60）2+9000=8640，∴当售价为每盒54元时，获得的最大利润是8640元；（2）令y=8000，﹣10x2+1200x﹣27000=8000，解得：x1=50，x2=70，∴50≤x≤70时，y≥8000，∵x≤54，∴50≤x≤54时，y≥8000，即超市想要每天获得利润不少于8000元，售价的范围是50≤x≤54．【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．27．（10分）（2016秋•南京期末）如图，已知⊙O过边长为4的正方形ABCD顶点A、B．（1）若⊙O与边CD相似．①请用直尺和圆规作出⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；②求⊙O的半径；（2）过点O作MN⊥AB，分别交AB、CD于点M、N，⊙O与边AD交于点E，与线段MN交于点F，连接EN、AF，当△DEN与△AFM相似时，画出图形，并在图形下方直接写出⊙O的半径长．（注：若有多种情况，每种情况单独用一个图形表示）【考点】圆的综合题．【分析】（1）①如图1中，作线段AB的垂直平分线EF，交CD于F，连接AF，作线段AF的垂直平分线MN交EF于点O，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O即为所求．②如图2中，设⊙O与AD、DC分别交于点E、F，FO的延长线交AB于M，设OA=x，则AM=2，FO=x，OM=4﹣x，在Rt△AMO中，根据OA2=OM2+AM2，列出方程求解即可．（2）①如图3中，当△DEN∽△MFA时，设AG=GE=OM=a，AE=FN=2a，由NM=4，得3a+r=4 ①在Rt△AOM中，由OA2=OM2+AM2，得22+a2=r2②，解方程组即可解决问题．②如图4中，当⊙O与CD相切时，连接BN．只要证明△DEN∽△MAN，即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，作线段AB的垂直平分线EF，交CD于F，连接AF，作线段AF的垂直平分线MN交EF于点O，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，⊙O即为所求．②如图2中，设⊙O与AD、DC分别交于点E、F，FO的延长线交AB于M，设OA=x，则AM=2，FO=x，OM=4﹣x，在Rt△AMO中，∠AMD=90°，OA2=OM2+AM2，∴x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，∴⊙O的半径为2.5．（2）①如图3中，当△DEN∽△MFA时，∵AM=DN，∴△DEN≌△MFA，∴FM=DE，AE=FN，设⊙O的半径为r，OM=a，∵OA=OE，OG⊥AE，∴AG=GE，∵四边形AMOG是矩形，∴AG=GE=OM=a，AE=FN=2a，∵NM=4，∴3a+r=4 ①在Rt△AOM中，∵OA2=OM2+AM2，∴22+a2=r2②，由①②可得r=．②如图4中，当⊙O与CD相切时，连接BN．∵∠DEN+∠AEN=180°，∠ABN+∠AEN=180°，∴∠DEN=∠ABN，∵OM⊥AB，∴=，∴∠BAN=∠ABN=∠DEN，∵∠EDN=∠AMN，∴△DEN∽△MAN，由（1）可知此时⊙O的半径为2.5．【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数，构建方程以及方程组解决问题，属于中考压轴题．。