乘法原理 完成一件事情有n个步骤,若每一步的 任何一种方法只能完成这件事的一部 分,并且必须且只需完成互相独立的 这n步后,才能完成这件事.
分步要做到“步骤完整”
点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完 成,所以, 第一类, m1 = 1×2 = 2 条
第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近 路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。
D1
C1
A1 D
B1 C
A
B
分步乘法计数原理与分步有关。
即：类类独立，步步关联。
例5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字 符要求用字母A~G或U~Z，后两个要求用数字1～9， 问最多可以给多少个程序命名？
分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步， 选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。
解：首字符共有7+6＝13种不同的选法， 中间字符和末位字符各有9种不同的选法
根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053种不同的选法
答：最多可以给1053个程序命名。
例6.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子 是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称 为碱基的化学成分所占据，总共有４个不同的碱基，分别用A，C，G，U表 示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位 置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组 成，那么能有多少种不同的RNA分子？
100个4
例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种 状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采 用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计 算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一 个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计 量单位，每个字节由８个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个 汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用 多少个字节表示？
变: 若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?
答:它们的涂色方案种 数分别是 0, 4×3×2×2 = 48, 5×4×3×3 = 180 种。
探索
探索
练习1如图,一蚂蚁沿着长方体的棱,从一个顶点 爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
D1
A1 D
A
C1
B1 C
B
解:如图,从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶
分析:用100个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、
C、G、U中任选一个来占据。
第1位 第2位 第3位
第100位
……
4种
4种
4种
4种
解：100个碱基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从A、C、G、U
中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有
444 4＝4100 种不同的RNA分子.
方式的不同
不 分类完成
分步完成
同 任何一类办法中的 这些方法需要分步,
任何一个方法都能 各个步骤顺次相依,
点 完成这件事
且每一步都完成了,
才能完成这件事情
何时用加法原理、乘法原理呢?
加法原理 完成一件事情有n类方法,若每一类方 法中的任何一种方法均能将这件事情 从头至尾完成.
分类要做到“不重不漏”
例11 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使
用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂
色方案有多少种? 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四 步完成,
第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种 数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
例11 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?
例11 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?
例10 五名学生报名参加四项体育比赛，每 人限报一项，报名方法的种数为多少？
解：5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学 生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一
4 事件故报名方法种数为4×4×4×4×4= 5 种 .
例11 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别 涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂 色方案有多少种?
如00000000，10000000， 11111111.
第1位
第2位
第3位
第8位
……
2种
2种
2种
2种
例8.
例9.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增 长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌 照组成办法，每一个汽车牌照都必须有３个不重复的英文字母 和３个不重复的阿拉伯数字，并且３个字母必须合成一组出现， ３个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽 车上牌照?
人教A版 选修2-3
第一章 计数原理
1.1 分类加法计数原理与 分步乘法计数原理（二）
1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在 第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法. 那么 完成这件事共有 N m1 m2 种L不同m的n 方法.
练习2
课堂练习
3、乘积 (a1 a2 a3)(b1 b2 b3)(c1 c2 c3 c4 c5 )
展开后共有几项？ 3 3 5 45
4、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个 门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多 少种不同的进出商场的方式？
6 5 30
5.将3个不同的小球放入4个不同的盒子内,有
__6_4___种不同的方法.
6.(2007.全国)5位同学报名参加两个课外活 动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不
同的报名方法公有( D)
A.10种 B.20种 C.25种 D.32种
小结
加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点 什么？
加法原理
乘法原理
相同点
它们都是研究完成一件事情, 共有多少种 不同的方法
2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步 骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同 的方法……，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这
件事共有N m1 m2 L种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，