一、选择题1.下列复数中，位于第三象限的复数是（ B ）A ． 12i +B ．12i --C ． 12i -D ．12i -+ 2.下列命题中，正确的是（ C ） A ．1z >表示圆的内部 B ．Re()0z >表示上半平面C ．0arg 4z π<<表示角形区域D ．Im()0z <表示上半平面3.下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ D ） A ．z z e + B ．2sin 1zz + C ．tan z z e + D.sin z z e +4.已知31z i =+，则下列正确的是（ B ） A ．3122iz e π= B ．3642i z eπ=C ．73122i z eπ=D ．632iz e π=5.积分||342z dz z =-⎰的值为（ A ）A ． 8i πB ．2C ． 2i πD ．4i π6.0=z 是函数(1cos )z e z z -的（ D ）A ． 可去奇点B ．一级极点C ．二级极点D ． 三级极点7．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为（ C ）A ．0B ．1C ． 12D ．12-8.复数i z +=3的幅角主值为 （ A ）A.6π B ． 3π C ． 65π D ． 32π 9.函数)(z f w =在点0z 处解析的特征为 （ A ）A. 在0z 的邻域内可导 B ．在0z 可导 C ． 在0z 连续 D ． 在0z 有界 10.复积分⎰cdz z f )(与路径无关的充分必要条件为 （ C ）A. )(z f 连续 B ．)(z f 有界 C ． )(z f 解析 D ． )(z f 可积分 11.复变函数z z z f cos )(=的原函数为 （ B ）A. z z z sin cos + B ．z z z cos sin + C ． )1(cos +z z D ． z z cos12.下列函数中那一个为调和函数 （A ）A. 22y x - B ．)sin(xy C ．)cos(y x + D ．xy x 22+13.下列级数绝对收敛的是（ B ）A. ∑∞=+1)1(1n n in B ．∑∞=1!)8(n n n i C ．∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-121)1(n nn i n D ． ()∑∞=+1sin cos n n i n14．下列命题正确的是（ A )A. 若z 为纯虚数，则z z ≠ B ． i<2i C ．仅存在一个数z ，使得z1=z - D ．1z +2z =21z z + 15. 当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） A ．i B ．i - C ．1 D.1- 16.设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ B ）A ．i +-43 B ．i +43 C ．i -43 D.i --43 17. 函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D. 既非充分条件也非必要条件 18.下列函数中，为解析函数的是( C )A ．xyi y x 222--B ．xyi x +2C ．)2()1(222x x y i y x +-+- D.33iy x +19. 幂级数∑∞=++-011)1(n n n z n 在1<z 内的和函数为( A ) A ．)1ln(z + B ．)1ln(z - C ．z +11ln D. z-11ln 20．若幂级数∑∞=0n nn z c 在i z 21+=处收敛，那么该级数在2=z 处的敛散性为( A ) A ．绝对收敛 B ．条件收敛 C ．发散 D.不能确定 21．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( C ) A ．)(z f 在复平面上处处解析 B ．)(z f 以π2为周期C ．2)(iziz e e z f --= D.)(z f 是无界的22.设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ A ） A ．i 31+- B ．i +-3 C ． i 2321+-D ．i 2123+- 23.若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ C ）A ．z z z z 222≥-B ．z z z z 222=-C ． z z z z 222≤- D ．不能比较大小24.若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( C )A ．0B ．1C ． 2D ．2- 25.满足不等式2≤+-iz iz 的所有点z 构成的集合是（ D ） A ．有界区域 B ．无界区域 C ． 有界闭区域 D ．无界闭区域 26.方程232=-+i z 所代表的曲线是（ C ）A ．中心为i 32-，半径为2的圆周B ．中心为i 32+-，半径为2的圆周C ．中心为i 32+-，半径为2的圆周D ．中心为i 32-，半径为2的圆周27.设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+⎰cdz iy x )(2( D )A ．i 6561- B ．i 6561+- C ． i 6561-- D ．i 6561+ 28．1=z 是函数11sin)1(--z z 的( A ) A ．可去奇点 B ．一级极点 C ． 一级零点 D ．本性奇点29.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ B ） A ．221=+-z z B.433=--+z z C ．)1(11<=--a azaz D ．)0(0>=-+++c c a a z a z a z z30.设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+-=的最小值为（ A ）A ．3- B.2- C ．1- D ．131.函数)Im()(2z z z f =在0=z 处的导数( A )A ．等于0 B.等于1 C ．等于1- D ．不存在 32.ze 在复平面上( D )A ．无可导点 B.有可导点，但不解析 C ．有可导点，且在可导点集上解析 D ．处处解析 33.设R c ∈，那么由调和函数22y x u -=确定的解析函数iv u z f +=)(是 ( D )A ．c iz +2 B. ic iz +2 C ．c z +2 D ．ic z +234.=-],[Re 12i ez s iz ( B)（A ）i +-61 B.i +-65C ．i +61D ．i+6535.积分=⎰=121sin z dz z z ( C ) （A ）0 B.61-C ．3i π-D ．i π-36.设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ） A ．圆 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ．抛物线 37.使得22z z=成立的复数z 是（ D ）A ．不存在的B ．唯一的C ． 纯虚数D ．实数 38.函数23)(z z f =在点0=z 处是( B )A ．解析的B ．可导的C ． 不可导的D ．既不解析也不可导 39.设1:1=z c 为负向，3:2=z c 正向，则=⎰+=dz z zc c c 212sin ( B ) A ．i π2- B ．0 C ． i π2 D ．i π4 40.下列级数中，绝对收敛的级数为( D )A ．∑∞=+1)1(1n n in B ．∑∞=+-1]2)1([n n n i n C ． ∑∞=2ln n n n i D ．∑∞=-12)1(n nn n i 41.级数+++++22111z z zz 的收敛域是( B ) A ．1<z B ．10<<z C ． +∞<<z 1 D ．不存在的42．∞=z 是函数2323zz z ++的( B ) A ．可去奇点 B ．一级极点 C ． 二级极点 D ．本性奇点 43.复数i z 31+-=的幅角主值为（ D ） A ．6π B ． 3π C ． 65π D ． 32π44.下列命题中，正确的是（ C ） A ．1z >表示圆的内部 B ．Re()0z >表示上半平面C ．0arg 4z π<<表示角形区域D ．Im()0z <表示上半平面45.函数11)(2++=z z z f 的不解析点为（ A ）A ． i z ±=B ． 1=zC ． i z =D ． 1-=z46.复积分⎰cdz z f )(与路径无关的充分必要条件为（ C ）A ．)(z f 连续B ． )(z f 有界C ．)(z f 解析D ．)(z f 可积分 47.复变函数z z z f cos 2)(+=的原函数为（ B ）A ．z z z sin cos +B ．z z z cos sin +C ． )1(cos +z zD ． z z sin 2+48.设0=z 为函数zz e xsin 142-的m 级极点，那么=m ( C )A ．5B ．4C ．3D ．2 49．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ D ）A ．21)(z e z f z -= B ．z z z z f 1sin )(-= C ．z z z z f cos sin )(+= D ．z e z f z 111)(--= 50.设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ B ）A ．i +-43 B ．i +43 C ．i -43 D.i --4351.复数)2(tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ D ） A ．)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i B ．)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i C ．)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i D.)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 52.使得22z z =成立的复数z 是（D ）A ．不存在的B ．唯一的C ．纯虚数D.实数53.如果)(z f '在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(-=f ，那么在1<z 内≡)(z f ( C ) A ．0 B ．1 C ．1-D.任意常数54.下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ D ）A ．z z e +B ．2sin 1z z + C ．tan z z e + D.sin zz e + 55.设α是复数，则( C )A ．αz 在复平面上处处解析B ．αz 的模为αzC ．αz 一般是多值函数D.αz 的辐角为z 的辐角的α倍56．∞=z 是函数2323z z z ++的( B )A ．可去奇点B ．一级极点C ．二级极点D.本性奇点二、填空题1. 11)(2+=z z f ，则)(z f 的定义域为 C z i z ∈±≠, . 2．函数ze 的周期为.i k π2 3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim ei +-1 .4.=+z z 22cos sin 1.5. 设1-=ze ，则=z i k π)1(2+ . 6. =ii .)22(ππk e +-7．设i i i i z -+-=11，则)Re(z = 23-. 8. =--→z e z z cos 11lim2021 . 9.⎰=1sin zdz z sin1-cos1.10. 函数)2)(1()4)(3()(----=z z z z z f 在0=z 的邻域内展开成幂级数，则收敛域为 1<z .11.设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 8arctan -π .12.设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z i 21+- . 13.函数)Re()Im()(z z z z f -=仅在点=z i - 处可导 . 14.方程01=--ze的全部解为 i k π2 .15.设5cos 1)(z z z f -=，则=]0),([Re z f s 241- . 16.方程1)1(212=----zi iz 所表示曲线的直角坐标方程为 122=+y x .17. 若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f ic z +2.18.设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f i 827427- . 19.幂级数∑∞=+012)2(n n n z i 的收敛半径=R22. 20.设0=z 为函数33sin z z -的m 级零点，那么=m 9 .21.以方程i z 1576-=的根的对应点为顶点的多边形的面积为 33 . 22. 设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为3,2,1,0),424sin 424(cos 28=+++k k i k ππππ.23.=-)}43Im{ln(i 34a r c t a n - .24.双边幂级数∑∑∞=∞=--+--112)21()1()2(1)1(n n n nnz z 的收敛域为 211<-<z . 25.设函数}1exp{)(22zz z f +=，则=]0),([Re z f s 0 . 26.复数22)3sin 3(cos )5sin 5(cos θθθθi i -+的指数表示式为 θ16i e . 27. 若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f ic z +2. 28.设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰cdz z 2 2 .29.函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为 12012)1(+∞=∑+-n n n z n .30.积分=⎰=113z zdz e z12iπ . 31.设121,13z i z i =-=+，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭43121++-i . 32. 若0z 是)(z f 的极点，则=→)(lim 0z f z z ∞ .33. 函数cos z 的周期为_____π2___ .34.已知 41z i =-，则z 所有取值为3,2,1,0),424sin424(cos 28=+-++-k k i k ππππ.35.设a z =为函数)(z f 的m 级极点，那么='],)()([Re a z f z f s m - . 36. 设11)(2+=z z f ， 则)(z f 的孤立奇点有__i ± . 37．若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0， 则z 0是)('z f 的__1-m _零点.38. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim ie +-1 .39.设(cos sin )z r i θθ=+， 则nz =____)sin (cos θθn i n r n +_____.40. 设i e z-=，则=z π)12(+k i .三、计算题1.求复数11+-=z z w 的实部与虚部. 2.设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在{}10<<=z z D 内的罗朗展式.3.试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 4.设1)(2+=z e z f z，求)),((Re i z f s ．5.将复数i z 212--=化为三角表示式与指数表示式（辐角用主值表示）．6.设())(2323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数，试确定l,n,m,的值．7.把函数z z f sin )(=展开成1-z 的幂级数．8.计算积分⎰=+221z z dz z ze9.求222121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+i i .10.⎰=+-2||2))(9(z dz i z z z.11.求函数(1)(2)zz z --在1||2z <<内的罗朗展式.12.设2()ze f z z=，求Re ((),0).s f z ．13.设0≥a ，在复数集C 中解方程a z z =+22. 14.已知22y x v u -=-，试确定解析函数iv u z f +=)(. 15.计算积分12sin (1)z z zdz z e =-⎰．16.求幂级数∑∞=12n nz n 的和函数，并计算∑∞=122n n n 之值.17.若复数z 满足03)21()21(=+++-+z i z i z z ，试求2+z 的取值范围. 18.解方程i z i z 4cos sin =+. 19.将函数)1()2ln(--z z z 在110<-<z 内展开成洛朗级数.20.计算积分⎰=++22422z z z dz． 21.将直线方程0=++C By Ax （B A ,不全为0），化为复数方程表示．22.已知函数144),(33+-=xy y x y x v ，验证),(y x v 为调和函数；并求一解析函数)(z f ，使得),()(Im y x v z f =，且i f =)0(．23. 试把函数)2)(1(1)(--=z z z f 在0=z 处展开为泰勒级数，并求其收敛半径．24.设函数)2)(2()(2++=z z zz f ，利用留数定理计算复积分z d z f z ⎰=4)(．25.求具有形式⎪⎭⎫⎝⎛=x y f u 的所有调和函数),(y x u ． 26.函数)2()1()(22y xy i x y x z f ++++-=，试问)(z f 是否解析？若解析，求其导数．27.将612)(2---=z z z z f 在23<<z 上展开成z 的幂级数．28. 求幂级数∑∞=++111n n n z 的和函数以及其收敛半径．29.计算2lim 6nn i →∞-⎛⎫⎪⎝⎭． 30.求函数(1)(2)zz z --在12z <<内的罗朗展式.31.设3232()()f z my nx y i x lxy =+++在复平面上解析，求n m l ,,的值．32.设1)(2+=z e z f z，求)),((Re i z f s -．四、证明题1.函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数．2.如果)('z f 在区域D 处处为零，则)(z f 在D 内为一常数．3.设函数)(z f 在区域D 内解析，试证：)(z f 在D 内为常数的充分必要条件是)(z f 在D 内解析．4.设函数)(z f 在区域D 内解析，试证：)(z f 在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.5.设a 为)(z f 的孤立奇点，试证：若)(z f 是奇函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s -=；若)(z f 是偶函数，则]),([Re ]),([Re a z f s a z f s --=．．6. 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析，()f z 等于常数，则()f z 在D 恒等于常数． 7．若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析， (,)v x y 等于常数， 则()f z 在D 内恒等于常数． 8.若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析， (,)u x y 等于常数， 则()f z 在D 恒等于常数．。