最大公约数和最小公倍数
一、基本概念和知识
1、公约数和最大公约数
几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a 、b 的最大公因数记作（a 、b ），如果（a 、b ）=1，则a 、b 互质。

2、公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a 、b 的最小公倍数可以记作〔a 、b 〕，当（a 、b ）=1时，〔a 、b 〕=a ×b 。

3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：
最大公因数×最小公倍数=两数的积 即（a 、b ）×〔a 、b 〕= a ×b
二、方法篇
短除法（最大公约数）
（1）必须每次都用n 个数的公约数去除；
（2）一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）；
（3）n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

短除法（最小公倍数）
（1）必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用1n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；
（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n 个数的商两两互质为止；
（3）n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

辗转相除法（最大公约数）
设两数为a 、b(a>b ），求a 和b 最大公约数(a ，b ）的步骤如下：用b 除a ，得a ÷b=q......r1(0≤r1）。

若r1=0，则（a ，b)=b ；若r1≠0，则再用r1除b ，得b ÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则（a ，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。

其最后一个非零除数即为（a ，b ）。

PS:求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法、断除法、辗转相除法等方法。

三、例题全解
例1、求2520、14850、819的最大公约数和最小公倍数。

（用因数分解法）
例2、求36、108、126的最大公约数和最小公倍数。

（用短除法）
例3、用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

试一试
1、求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。

（用因数分解法）
2、求40
3、527、713的最大公约数和最小公倍数。

（用短除法）
3、用辗转相除法求2597和7049的最大公约数。

例4、有一位男同学要整理三种厚度分别为30毫米、24毫米和18毫米的一堆书，他只能将厚度相同的书叠在一起，叠成高度一样的三叠，使书得高度尽可能小。

这样的整理共用了多少本书？
试一试
1、甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是月日。

例5、有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米.现在要把它们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
例6、加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？
例7、一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A 饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料.问参加会餐的人数是多少人？
例8、设a=36，b=54，证明（a，b）×[a，b]=a×b。

例9 、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
试一试
1、设a=108，b=720，证明（a，b）×[a，b]=a×b。

例10、现有4个自然数，它们的和是1111,。

如果要使这4个数的公约数尽可能大，那么，这4个数的公约数最大是多少？。

试一试
1、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？
2、有很多方法可以将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和。

对于每一种分法，这25个自然数均有相应的最大公约数，那么这些最大公约数最大值是多少？
例11、某自然数，它可以表示成9个连续自然数的和，又可以表示成10个连续自然数的和，还可以表示成11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？
四、知识巩固
1、用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
2、一个数用
3、
4、5除都能整除，这个数最小是多少？
3、求1008、1260、882和1134四个数的最大公约数是多少？
4、求21672和11352的最小公倍数。

5、甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？
6、一块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？
7、已知两个自然数的积是5766，它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

8、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次.兄弟三人同时在十月一日回家，下一次三人再见面是哪一天？
9、将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？
10、一箱地雷，每个地雷的重量相同，且都是超过1的整千克数，去掉箱子后地雷净重201千克，拿出若干个地雷后，净重183千克.求一个地雷的重量？
课后选看
1、甲、乙两数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商为12，若甲、乙两数差为18，这两
个数分别是多少？
解：设最大公约数为X ,甲为AX ,乙为BX
根据两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12得A×B=12
根据甲乙两数的差是18得(A-B)X=18
可知A、B只能为3、4得X=18
所以两数分别为54和72。

2、在一根长的木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种刻度线将木棍分成15等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
解：最小公倍数问题。

10，12，15的最小公倍数是60。

把这根木棍的1/60作为一个长度单位，这样：木棍10等份的每等份长6个单位；12等份的每等份长5单位；15等份的每等份长4单位．不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等分)，共计34个。

（10，12，15）＝60，设木棍60厘米60÷10＝6厘米，60÷12＝5厘米，60÷15＝4厘米10等分的为第一种刻度线，共10－1＝9条
12等分的为第二种刻度线，共12－1＝11条
15等分的为第三种刻度线，过15－1＝14条
第一种与第二种刻度线重合的（6，5）＝30，60÷30－1＝2－1＝1条
第一种与第三种刻度线重合的（6，4）＝12，60÷12－1＝5－1＝4条
第二种与第三种刻度线重合的（5，4）＝20，60÷20－1＝3－1＝2条
三种刻度线重合的没有，（6、5、4）＝60
因此，共有刻度线9＋11＋14－1－4－2＝27条，木棍总共被锯成27＋1＝28段。

由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．
又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2，
同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4。