一、灰色关联度分析
设 x1 , x2 ,, xN为N个因素，反应各因素变化特性 的数据列分别为 x1 t , x2 t ,, xN t , t 1,2,, M 因素 x j 对
i (k )
i
xi 的关联系数定义为 min min x0 k xi k max max x0 k xi k
二、灰色GM（1,1）模型
灾变预测 一般地，如果表征系统行为特征的指标通过了某个 临界值，则称发生了灾变，所以灾变是相对于所研 究问题的表征变量而言的。
N x 1 , x 2 , , x 设表征系统行为的原始数据列为 0 x 规定一个灾变临界值 ， i 中那些<= 或 >=
一、灰色关联度分析
对各要素的原始数据作初等变换或均值变换等，然后 利用变换后所得到的数据作关联度计算。原始数据变 换方法如下： （1）均值化变换：先分边求出各个序列的平均值，再 用平均值去除对应序列中的各个原始数据，所得到新 的数据列即为均质化序列。 （2）初值化变换：分别用同一序列的第一个数据去除 后面的各个原始数据得到新的倍数数列，即为初值化 数列。
-4.9844
3.3541 4.2218 -3.4078
二、灰色GM（1,1）模型
得到上表的结果根据计算得到的预测模型是
x(t+1)=1989033.435309exp(0.081739t)-1851541.435309
模型精确检验值为C=0.2657（好），p=0.9677 （好）表明上述模型可以进行预测。
式中，ri 为曲线 xi 对参考曲线 x0 的关联度。根 据关联度 ri 可计算出参评因素的权重
i ri / ri 100i 1， 2， ，n
i 1
n
根据关联度的计算可以看出，它的大小主要取 决于各时刻的关联系数，而关联系数的值又取 决于各时刻xi与x0之差。显然，xi与x0的量纲不 同，就会影响关联度ri的计算结果。为消除量 纲的影响，就需要在进行关联度计算之前，
1
2 s2
0 1 0 t ) ( t m 1 t 1
m
2
p |
0
t
0
在计算方
| 0.6745 s1
。根据后验比c和小误差概率p对模型进行诊断，当p >0.95和c<0.35时，模型精度良好；当p>0.8和c<0.5 时，模型合格；当p>0.7和c<0.65时，模型勉强合格； 当p<=0.7和p>=0.65时，模型不合格。
根据（3 ）讲述的基础公式，对一次累加成数列的预 测值 x t ，可以求得原始数的还原值
1
x t x t x t 1
式中t=1,2,„，N，并规定还原值初始值为0.原始数 据的还原值与实际观测值之间的残差值 0 t 和相对 误差 qt 如下 0 0 0 t x t x 0 t 1 0 0% q t 0 x t
0 0 0
的点数被认为是具有异常值的点（灾变发生点），
二、灰色GM（1,1）模型
把它们按原来的顺序挑出来组成一个新的数据 序列（灾变数列）
x i x q | x q

0 ' 0 0
作灾变映射 变日期形成的序列
p : i ' q ，则灾变预测就是按灾 p p(1' ), p(2' ),, p(n' )
年份
降水量 年份
1981 1982
435. 278. 9 9 1991 1992
1983
483 1993
1984
510. 6 1994
1985
398. 2 1995
1986
430. 6 1996
1987
பைடு நூலகம்
178050.4459
190090.1424 209672.0046 227530.247
X(t+2)=254937.54808
X(t+3)=276651.15996 X(t+4)=300214.16965 X(t+5)=325784.09457
-7900.63
6369.492 9144.534 -7287.19
二、灰色GM（1,1）模型
基本原理 此模型建立的基本过程是：对时间变化的序列无 明显趋势时，采用“累加”的方法，建立一个随 时间变化趋势明显的时间序列。例如，时间序列 （1，3，4，7，5，9）变化趋势不明显，对其元 素进行雷杰可以生成一列趋势明显的序列（1，2， 8，15，20，29）。按照累加后序列的增长趋势 可以简历考虑灰色因子的预测模型进行预测，然 后采用“累减” 的方法进行逆运算，回复原时 间序列，得到预测结果。
二、灰色GM（1,1）模型
模型建立的方法与步骤 （一）方法 设时间序列 X(0) = x0 1, x0 2, x0 3,, x0 n
其累加生成的序列为 X(1) =
x 1, x 2, x 3,, x n
1 1 1 1
一、灰色关联度分析
（3）标准化变换：先分别求出各个序列的平均值和 标准差，然后将各个原始数据渐趋平均值再除以标 准差，得到的数据即为标准化序列。
一、灰色关联度分析
实例分析
沙漠化土地面积及其影响因素 沙漠化土 地/x1 年平均降水 年平均大风 量/x2 日数/x3 农牧业总人 耕地面 口/x4 积/x5 牲畜总 数/x6
一、灰色关联度分析
如上面的例子在DPS中操作，完全可以用傻瓜式操 作实现。
第一步：将数据输入DPS数据处理系统中；
第二步：在“其他”菜单栏中找到“灰色系统方 法”，在其箭头里找到“灰色系统分析” 第三步：在对话框中实现。
一、灰色关联度分析
在数据序列转换方式， 一般为均质化。母序 列个数一般为0；是 否令min为0，如果要 精确的话，尽量不要 为0；分辨系数（白 化值），一般情况设 为0.5.
129535
168462
294.87
298.56
44.6
42.3
48355
69345
16519
48796
1288030
1456793
187856
205678 224595
325.35
309.84 295.89
36.6
47.5 50.3
82134
94567 108031
53679
56346 59199
按后者建立微分方程模型为
dX 1 aX u dt
1
二、灰色GM（1,1）模型
式中所对应的时间响应函数为
u at u 0 X t 1 X 1 e a a
1
确定a、u,按模型递推，便得到预测的累加序列， 进行检验后“累减”便可得到预测值。


，其中，
BT YN
X X
1 1
1

1 1
1 1 1
1 2 1 2
X 0 2 X 0 3 YN X 0 n
1
X
1
2 1
二、灰色GM（1,1）模型
u t 1 X 1 e X （3）将灰色参数代入时间函数 a
为分辨系数，一般在0与1之间选 两级最大差； 取,一般取0.5。
0 i
0 i
i
k
i
k
0.5 i (k ) 1
关系数的个数很多，信息过于分散，不便于比较， 为此有必要将各个时刻的关联数集中为一个值， 这个值便是关联度，其表达式为
1 N ri i (k ) N k 1
一、灰色关联度分析
1879653
2098764 2200625
一、灰色关联度分析
关联度取灰数的白化值为0.5（ =0.5） 完整的计算步骤是完全根据前面介绍的得来
1 0.703707 0.732491 0.571372 0.73455 0.713403 0.703707 1 0.720905 0.655688 0.74416 0.549267 0.732491 0.720905 1 0.787908 0.774496 0.805972 0.571372 0.655688 0.787908 1 0.648738 0.588216 0.73455 0.74416 0.774496 0.648738 1 0.727275 0.713403 0.549267 0.805972 0.588216 0.727275 1
0
0
at

u a
然后对 X 1 求导还原得到

X

0
u at 0 t 1 a X 1 e a
0
0 0 t t 及相对误 x t （4）计算 与x 之差 差 t
二、灰色GM（1,1）模型


建立GM(1,1)预测模型进行灾变日期预测。
二、灰色GM（1,1）模型
应用实例 如果年降水量小于或等于300mm，就认为发生了旱灾。 试用灾变预测法对下一个灾变到来的年份进行预测。 某地区年降水量(mm)
年份 降水量 1971 1972 298. 489. 7 9 1973 398. 6 1974 345 1975 289. 8 1976 478. 3 1977 515. 6 1978 421. 5 1979 299. 8 1980 432. 1
二、灰色GM（1,1）模型
二、步骤
（1）由原序列 X 按照 生成 1 t ，以弱化原始数列的随机性和波动性； X 序列
m 1
0
X