例1 如图所示，在 S 平面有三个点，分别为：
s1 1, s2、3 1 j10
若 s ＝10，试求它们映射在 Z 平面上的点。
j 10
[S]
Im 0.533
【解】 z1 e s1T e 12 / 10 0.5330
z2 e s2T e (1 j10)2 / 10 0.5332 S 平z3面实e部s3相T 同而e (虚1部 j相10)差2/ s10的整0数.5倍3的3点均映2射为Z
w u jv x 1 jy x 1 jy
x2 y2 1 j2y
x 12 y 2
z 1 x2 y 2 1 Re w 0
Re w 0 x2 y 2 1 z 1 z 1 Re w 0
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
T 1
s
K
C(s)
s(s 1)
该系统的广义对象为
G(z)
1 z 1
Z
s
2
K (s
1)
K 0.368z 0.264 z 1z 0.368
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
3、计算机控制系统稳定性的判断
（1）直接求特征方程的根来判别稳定性
（2）修正的Routh稳定性判则
劳斯－古尔维茨判据为连续系统的稳定判据，可以通 过一种变换（双线性变换）将离散系统特征方程对应的单 位圆内的根映射位为左半平面的根，这样就可用Routh判 据来分析离散系统的稳定性。
其中 s s 的带称为主带，其余均为旁带。
2
2
S 平面上的主带与旁带，将重复映射在整个 Z 平面
上。
s平面中的周期带与z平面中相对应的单位圆
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
等 线（等衰减）映射
s平面上的等 垂线，映射到z平面上的轨迹， 是以原点为圆心、以| z | eT 为半径的圆
平面同一点
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
2、离散系统的稳定条件
离散系统稳定的充要条件
离散系统对应的特征方程的解必须全部位 于单位圆内，只要有一个根在单位圆外，系统 就不稳定。若系统的根位于单位圆上，系统处 于稳定边界，亦称为不稳定。
根据劳斯判据 (w) 在 w右 半
平面有两个根，故该采样系统有 两个根在单位圆外，因此系统不 稳定
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
例3 如图所示的系统，为保证系统闭环稳定，放大系数的 倍数 K 的取值范围。
r(t)
E(s) E*(s) 1 eTs
等阻尼 线映射
s平面上的等阻尼 线可用式 s n jn 1 2 n jd 描述
d n 1 2 映射到z平面为
z
eTs
exp(nT
jdT )
exp
2
d
j2 d
1 2 s
s
| z | exp
2
d
1 2 s
∠z = 2 d s
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
4.1 计算机控制系统的稳定性分析
离散系统稳定性的概念与连续系统一样 稳定性 是指系统扰动作用下偏离原平衡点，当扰动作
用消失以后，系统恢复到原平衡状态的性能。 若系统能恢复平衡状态，称系统是稳定的；若系统
角频率 与 Z 平面相角的关系
T
当 S 平面的点沿虚轴由－∞ 变化到＋∞ 时，Z 平
面的相角也从－∞ 变化到＋∞ ，且 每变化一个 s ，
Z 平面的相角就变化 2，即转了一周。
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
S 平面可分为许多宽度为 s 的平行带，
在扰动作用消失以后，不能恢复平衡状态，则称系统 是不稳定的。 系统的稳定性是系统的固有特性，它与扰动的形式无 关，只取决于系统本身的结构参数。
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
1、S 平面和 Z 平面的相互关系
复变量 z 和 s 之间的关系 z e sT
例2 设采样系统的特征方程为
(z) 45z3 117z2 119z 39 0
进行w变换得
(w)
(z)
z w1 w1
45
w w
1 3 1
117
w 12 w 1
119
w w
1 1
39
0
化简后：
40w3 2w2 2w 1 0 作Routh阵列
w3 40 2 w2 2 1 w1 18 0 w0 1 0
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
设离散系统的特征多项式为 (z)
引入双线性变换
z w1 w 1
或w z 1 z 1
可以将 zi 1 转化为 Re wi 0 ，然后就可借助劳斯判
据判断稳定性。
【证】
令 z x jy 及 w u jv
令 s = ＋j，则
z e ( j )T eT .e jT eT T
由此可得S 平面和 Z 平面的基本对应关系： S 平面 虚轴 映射为 Z 平面的单位圆， S 左半平面
映射在Z 平面的单位圆内，右半平面则映射在单位圆 外。
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法
等 线（等频率）映射
在采样周期T 确定的情况下，s平面上的等 水平线，
映射到 z 平面上的轨迹，是一簇从原点出发的射线，其相
角 ∠z T ，以实轴正方向为基准
School of Automation Engineering 第4章计算机控制系统的经典分析方法