空间解析几何数学竞赛辅导一. 向量代数1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量),,(12121221z z y y x x M M ---=→2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→⋅b a（1）><⋅⋅=⋅→→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。

4、向量的外积→→⨯b a （遵循右手原则，且→→→⊥⨯a b a 、→→→⊥⨯b b a ）321321b b b a a a k j ib a →→→→→=⨯ （1）332211//b a b a b a b a b a ==⇔=⇔→→→→λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→→→→b a b a b a b a b a（3）几何意义： ||a b ⨯代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为2121313111|||0|22ABCij k SAB AC x x y y x x y y =⨯=---- 2121313112x x y y x x y y --=--的绝对值也可以写成11223311121ABCx y Sx y x y =的绝对值。

5. 混合积：(,,)()a b c a b c =⋅⨯。

(1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b ==(2)坐标表示：111222333(,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =⋅⨯=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。

(3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体的体积。

,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。

空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z ,444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为11121212122231313133341414144411111661x y z x x y y z z x y z V x x y y z z x y z x x y y z z x y z ---==------的绝对值。

（它实际是以,,AB AC AD 为邻边的平行六面体的体积的六分之一）例1 设径矢1=, 2r =,3r =, 证明 133221r r r r r r R⨯+⨯+⨯=垂直于ABC 平面.证明 :由于 ⋅=)(12r r -⋅[)()()(133221r r r r r r ⨯+⨯+⨯]=)()()()()()(131321211132322212r r r r r r r r r r r r r r r r r r ---++ =0)()(321321=-r r r r r r ,所以 ⊥.同理可证 ⊥.所以⊥平面ABC .例2．设P 是球内一定点，A ，B ，C 是球面上三个动点.2/CPA B PC APB π=∠=∠=∠. 以PA ，PB ，PC 为棱作平行六面体， 记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.（见北京大学2007考研题）二．直线与平面方程 (一)、平面1、平面的点法式方程已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→，则平面方程为0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A注意：法向量为),,(C B A n =→垂直于平面2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→3、求平面方程的主要方法 （1）过直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 的平面方程可设为0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线⎩⎨⎧=++=+++0204z y x z y x 的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。

（2）平面过OZ 轴，且与平面0=-z y 的夹角为060，求该平面方程（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角） （3）求过点)1,0,1(-M 和直线110122-=-=-z y x 的平面方程 （4）过直线⎩⎨⎧=+-=-+083042z y z x 作平面，使它平行于直线⎩⎨⎧=--=--0604z y y x(5)过平面02=+y x 和6324=++z y x 的交线作切于球面4222=++z y x 的平面（6）求由平面0173,0122=++=+-y x z x 所构成的两面角的平分面方程 （2）利用点法式求平面方程注意：（i ）任何垂直于平面的向量→n 均可作为平面的法向量 （ii ）和平面0=+++D Cz By Ax 平行的平面可设为01=+++D Cz By Ax （iii ）如存在两个向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→和平面平行（或在平面内），则平面的法向量为321321b b b a a a k j ib a n →→→→→→=⨯= 例1（1）已知两直线为111111--=-=-z y x ，221113-=--=-z y x ，求过两直线的平面方程（2）求过)1,3,8(-A 和)2,7,4(B 两点，且垂直于平面02153=--+z y x 的平面（3）一平面垂直于向量)2,1,2(且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程（4）已知球面0642222=-+-++z y x z y x 与一通过球心且与直线⎩⎨⎧=-=0z y x 垂直的平面相交，求它们的交线在xoy 面上的投影 例2．已知椭球面1222222=++cz b y a x )(b a c <<， 试求过x 轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。

解 平面过x 轴，从而过原点，得0D =。

设法向量(,,)n A B C =，由平面过x 轴得(,,)n A B C =与(1,0,0)i =垂直，得0A =，平面方程：0B y C z+=。

又0y =与0z =都不符合题意，所以0,0B C ≠≠。

不妨令Bz y ky C=-=，它与椭球面的交线为 2222222222222211x y z x c b k y a b c a b c z ky z ky ⎧⎧+++=+=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩（1）由于交线圆的圆心在原点，且该圆过点(,0,0),(,0,0)a a -，故该圆的方程也可表示为22222222211x kx y z a y a a z ky z ky⎧+⎧++=+=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩(2)比较（1）和（2）得22222221c b k k c k b c a ++=⇒=±，所求平面方程为：0±=。

(3)轨迹法求方程方法：（i ）设平面上任一一点),,(z y x M （ii ）列出含有z y x ,,的方程化简的平面方程例 求由平面013=++-z y x 和023=--+z y x 所构成的二面角的平分面的方程（二）、直线 1、直线的对称式方程过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程32010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→和直线平行 2、直线的一般方程⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线3、直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=tv z z t v y y t v x x 3020104、求直线方程的主要方法(1)把直线的一般方程化为点向式方程 方法：已知直线方程为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，则该直线的方向向量为),,(321222111v v v C B A C B A kj i v ==→→→→在直线上任取一点),,(000z y x ，则直线方程为32010v z z v y y v x x -=-=- 例化直线的一般方程⎩⎨⎧=--+=-++0132052z y x z y x 为标准方程(2)根据直线的方向向量求直线方程例（1）过点)2,1,0(M ，且平行于两相交平面013=++-z y x 和023=--+z y x 的直线方程（2求过点)0,4,2(M ，且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 平行的直线方程（3）求过点)2,0,1(-M ，且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线14213zy x =+=-垂直的直线方程 注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量 (3)利用直线和直线的位置关系求直线方程 注意：（1）两直线平行，则332211n m n m n m ==，其中),,(321m m m 和),,(321n n n 为直线的方向向量 （2）两直线302010m z z m y y m x x -=-=-和312111n z z n y y n x x -=-=-相交，则 0321321010101=---=∆n n n m m m z z y y x x 且332211n m n m n m ≠≠ （3）两直线302010m z z m y y m x x -=-=-和312111n z z n y y n x x -=-=-异面，其中公垂线的方向向量为),,(321321321v v v n n n m m m kj iv ==→→→→，则两异面直线的距离为||||→∆=v d ；公垂线方程为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=---=---0032132111132132100v v v n n n z z y y x x v v v m m m z z y y x x例（1）求通过点)1,1,1(M 且与两直线321z y x ==和431221-=-=-z y x 都相交的直线方程解：设所求直线的方向向量为),,(c b a ，已知两直线的方向向量为)3,2,1(、)4,1,2(，且分别过点)0,0,0(、)3,2,1( 则0321111=cb a ，即02=+-c b a ；0412210=--cba，即02=-+c b a 故b c a 2,0==，故)2,1,0(),,(=c b a 所求直线为211101-=-=-z y x （2）已知两异面直线0111+=-=z y x和011111-=-=-z y x ，求它们的距离与公垂线方程 （3）求与直线137182-=-=+z y x 平行且与下列两直线相交的直线 ⎩⎨⎧+=-=3465x z x z 和⎩⎨⎧+=-=5342y z x z （4）求过点)3,2,1(-P 与z 轴相交，且与已知直线22334--=-=z y x 垂直的直线方程（三）有关知识补充:1. 不在一条直线上的三点(,,)(1,2,3)i i i i P x y z i =的平面等价于11213,,PP PP PP 共面⇔11213(,,)0PP PP PP =⇔1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---。