2018年上海市黄浦区九年级第一学期期末考试数学试题2018年1月18日，考试时间100分钟，满分150分一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）． (A) a ＞0； (B) b ＜0； (C) c ＜0； (D) b ＋2a ＞0．2．若将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为y ＝2x 2，则原来抛物线的表达式为（ ）．(A) y ＝2x 2＋2； (B) y ＝2x 2－2； (C) y ＝2(x ＋2)2； (D) y ＝2(x －2)2． 3．在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式成立的是（ ）． (A) sin A ＝ACAB ； (B) sin A ＝BCAB ； (C) sin A ＝ACBC；(D) sin A ＝BCAC． 4．如图，线段AB 与CD 交于点O ，下列条件中能判定AC ∥BD 的是（ ）． (A) OC ＝1，OD ＝2，OA ＝3，OB ＝4； (B) OA ＝1，AC ＝2，AB ＝3，BD ＝4； (C) OC ＝1，OA ＝2，CD ＝3，OB ＝4；(D) OC ＝1，OA ＝2，AB ＝3，CD ＝4．5．如图，向量OA 与OB 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n OA OB =+，则n ＝（ ）． (A) 1； (B)2； (C) 3；(D) 2．OCAB D（第4题）Oxy （第1题）BOA（第5题） BCAl（第6题）6．如图，在△ABC 中，∠B ＝80°，∠C ＝40°，直线l 平行于BC ，现将直线l 绕点A 逆时针旋转，所得直线分别交边AB 和AC 于点M 、N ，若△AMN 与△ABC 相似，则旋转角为（ ）． (A) 20°； (B) 40°； (C) 60°； (D) 80°．二、填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7．已知a 、b 、c 满足346a b c ==，则a bc b+-＝_________． 8．如图，点D 、E 、F 分别位于△ABC 的三边上，满足DE ∥BC ， EF ∥AB ，如果AD ∶DB ＝3∶2，那么BF ∶FC ＝_________．9．已知向量e 为单位向量，如果向量n 与向量e 方向相反，且长度为3，那么向量n ＝_________．（用单位向量e 表示）10．已知△ABC ∽△DEF ，其中顶点A 、B 、C 分别对应顶点D 、E 、F ，如果∠A ＝40°， ∠E ＝60°，那么∠C ＝ _________度．11．已知锐角α，满足tan α＝2，则sin α＝_________．12．已知点B 位于点A 北偏东30°方向，点C 位于点A 北偏西30°方向，且AB ＝AC ＝8千米，那么BC ＝_________千米．13．已知二次函数的图像开口向下，且其图像顶点位于第一象限内，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为_________（表示为y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式）．14．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，一条平行于x 轴的直线截此抛物线于M 、N 两点，那么线段MN 的长度随直线向上平移而变_________（填“大”或“小”）．15．如图，矩形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知AC ＝6，AB ＝8，BC ＝10，设EF ＝x ，矩形DEFG 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为_________（不必写出定义域）．AB CDEF（第8题）（第15题）ACB DGFE CAB（第16题）16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝9，将△ABC 平移使其顶点C 位于△ABC 的重心G 处，则平移后所得三角形与原△ABC 的重叠部分面积是_________．17．如图，点E 为矩形ABCD 边BC 上一点，点F 在边CD 的延长线上，EF 与AC 交于点O ，若CE ：EB ＝1：2，BC ：AB ＝3：4，AE ⊥AF ，则CO ：OA ＝__________．18．如图，平面上七个点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，图中所有的连线长均相等，则 cos ∠BAF ＝______________．三、解答题（本题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：2cot 452cos 30sin 60tan301+-+．20．（本题满分10分）用配方法把二次函数y ＝－2x 2＋6x ＋4化为y ＝a (x ＋m )2＋k 的形式，再指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是边AC 的中点，CE ⊥BD 交AB 于点E ．（1）求tan ∠ACE 的值； （2）求AE ∶EB ．BCADEOABCFDE（第17题）BGAFECD（第18题）如图，坡AB 的坡比为1：2.4，坡长AB ＝130米，坡AB 的高为BT ．在坡AB 的正面有一栋建筑物CH ，点H 、A 、T 在同一条地平线MN 上．（1）试问坡AB 的高BT 为多少米？（2）若某人在坡AB 的坡脚A 处和中点D 处，观测到建筑物顶部C 处的仰角分别为60°和30°，试求建筑物的高度CH ．1.73≈1.41）23．（本题满分12分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项．（1）求证：∠CDE ＝12∠ABC ； （2）求证：AD ·CD ＝AB ·CE ．MNACD在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2＋bx＋8过点（－2，0）．（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点A，过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．如图，线段AB＝5，AD＝4，∠A＝90°，DP∥AB，点C为射线DP上一点，BE平分∠ABC交线段AD于点E（不与端点A、D重合）．（1）当∠ABC为锐角，且tan∠ABC＝2时，求四边形ABCD的面积；（2）当△ABE与△BCE相似时，求线段CD的长；（3）设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．P PE黄浦区2017学年度第一学期九年级期终调研测试评分标准参考一、选择题（本大题6小题，每小题4分，满分24分）1.D ；2.C ；3.B ；4.C ；5.B ；6.B . 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．72； 8．3∶2； 9．3e -； 10．80； 11．5； 12．8； 13．()211y x =--+等； 14．大； 15．24.80.48y x x =-； 16．3； 17．11∶30； 18．56． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=223⨯+⎝⎭（4分）=32-————————————————————————（4分）=3—————————————————————————————（2分）20. 解：2264y x x =-++=29923442x x ⎛⎫--+++ ⎪⎝⎭————————————————————（3分） =22317317222222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦—————————————（2分） 开口向下，对称轴为直线32x =，顶点317,22⎛⎫⎪⎝⎭————————————（5分） 21. 解：（1）由∠ACB =90°，CE ⊥BD ，得∠ACE =∠CBD .———————————————————————（2分）在△BCD 中，BC =3，CD =12AC =2，∠BCD =90°， 得tan ∠CBD =23，———————————————————————（2分）即tan ∠ACE =23.———————————————————————（1分） （2）过A 作AC 的垂线交CE 的延长线于P ，—————————————（1分）则在△CAP 中，CA =4，∠CAP =90°，tan ∠ACP =23， 得AP =28433⨯=，——————————————————————（2分） 又∠ACB =90°，∠CAP =90°，得BC ∥AP ，得AE ∶EB =AP ∶BC =8∶9. —————————————————（2分）22. 解：（1）在△ABT 中，∠ATB =90°，BT ∶AT =1∶2.4，AB =130，——————（1分） 令TB =h ，则AT =2.4h ，————————————————————（1分） 有()2222.4130h h +=，————————————————————（1分）解得h =50（舍负）.——————————————————————（1分） 答：坡AB 的高BT 为50米. —————————————————————（1分） （2）作DK ⊥MN 于K ，作DL ⊥CH 于L ， 在△ADK 中，AD =12AB =65，KD =12BT =25，得AK =60，——————（1分）在△DCL 中，∠CDL =30°，令CL =x ，得LD ，———————（1分） 易知四边形DLHK 是矩形，则LH =DK ，LD =HK ，在△ACH 中，∠CAH =60°，CH =x +25，得AH，—————（1分）60=，解得12.564.4x =≈，—————（1分） 则CH =64.42589.489+=≈.—————————————————（1分）答：建筑物高度为89米.23. 证：（1）∵BD 是AB 与BE 的比例中项，∴BA BDBD BE=，————————————————————————（1分） 又BD 是∠ABC 的平分线，则∠ABD =∠DBE ， ——————————（1分）∴△ABD ∽△DBE ，——————————————————————（2分）∴∠A =∠BDE . ———————————————————————（1分） 又∠BDC =∠A +∠ABD ， ∴∠CDE =∠ABD =12∠ABC ，即证. ———————————————（1分） （2）∵∠CDE =∠CBD ，∠C =∠C , ——————————————————（1分） ∴△CDE ∽△CBD ，——————————————————————（1分）∴CE DECD DB=.————————————————————————（1分） 又△ABD ∽△DBE ， ∴DE ADDB AB=—————————————————————————（1分） ∴CE ADCD AB=，————————————————————————（1分） ∴AD CD AB CE ⋅=⋅.———— —————————————————（1分）24. 解：（1）由题意得：428012a b b a -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，—————————————————（2分）解得：12a b =-⎧⎨=⎩，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为228y x x =-++，其顶点为（1,9）. —————（2分） （2）令平移后抛物线为()21y x k =--+，——————————————（1分） 易得D （1，k ），B （0，k -1），且10k ->，由BC 平行于x 轴，知点C 与点B 关于对称轴x =1对称，得C （2，k -1）. （1分） 由()201x k =--+，解得1x =，即()1A .————（2分） 作DH ⊥BC 于H ，CT ⊥x 轴于T ，则在△DBH 中，HB =HD =1，∠DHB =90°， 又AC ∥BD ，得△CTA ∽△DHB ，所以CT =AT ，即(121k -=--，————————————————（2分） 解得k =4,所以平移后抛物线表达式为()221423y x x x =--+=-++. —————（1分）25. 解：（1）过C 作CH ⊥AB 与H ，—————————————————（1分）由∠A =90°，DP ∥AB ，得四边形ADCH 为矩形.在△BCH 中，CH =AD =4，∠BHC =90°，tan ∠CBH =2，得HB =CH ÷2=2，（1分） 所以CD =AH =5-2=3，———————————————————————（1分） 则四边形ABCD 的面积=()()113541622AB CD AD +⋅=⨯+⨯=.———（1分）（2）由BE 平分∠ABC ，得∠ABE =∠EBC ， 当△ABE ∽△EBC 时，① ∠BCE =∠BAE =90°,由BE =BE ,得△BEC ≌△BEA ，得BC =BA =5，于是在△BCH 中，BH 3==，所以CD =AH =5-3=2. ———————————————————————（2分） ② ∠BEC =∠BAE =90°，延长CE 交BA 延长线于T ，由∠ABE =∠EBC ，∠BEC =∠BET =90°，BE =BE ，得△BEC ≌△BET ，得BC =BT ， 且CE =TE ，又CD ∥AT ，得AT =CD .令CD =x ，则在△BCH 中，BC =BT =5+x ，BH =5-x ，∠BHC =90°，所以222BC BH CH =+，即()()222554x x +=-+，解得45x =.———（2分） 综上，当△ABE ∽△EBC 时，线段CD 的长为2或45.—————————（1分） （3）延长BE 交CD 延长线于M ，——————————————————（1分） 由AB ∥CD ，得∠M =∠ABE =∠CBM ，所以CM =CB .在△BCH 中，BC ===.则DM =CM -CD x ，又DM ∥AB ，得DE DM EA AB =，即45yxy-=-，————（2分）解得()0 4.1y x =<<——————————（2分）。