系数 B
2.1.3 小结
导热问题只是传热学中的一小部分， 从中可以看到传热学的发展离不开数学， 而数学以 其博大的胸怀容纳了传热学，更好的解决了传热问题。在上述问题中，微分方程起到了关键 作用， 而传热的贡献是帮助建立方程及边界条件， 至于问题的解决方法还归根于如何求解所 列的方程，这都需要一定的高等数学基础，如其中用到了分离变量法、特征方程与特征值、 积分与偏导、无穷级数等相关概念和知识。
其中： v 表示内热源， 为物体的密度，c 为物体的比热容。 现在把问题简化为具有均匀内热源的大平板内导热（如图） ： 内热源 v 均匀，板度 2 ，h 是对流换热系数， t f 是流体温度。 由于对称性，只研究板厚的一半。 此时在 y,z 方向没有导热，即
2t 2t 0, 0 ，又因为是稳态， y 2 z 2
V
c
球坐标系：
t 1 t 1 t t r V r r r r 2 z z
c
t 1 t 1 t 1 t 2 r2 2 V sin 2 2 r r r r sin r sin
结论： 温度呈抛物线分布，最高温度位于平板的中心处； 热流密度为线性分布，表面处最大，平板中心处最小 。 如果大平板厚度为 （0≤x≤ ） ，其两侧表面维持均匀恒定温度 t w1 和 t w 2 ，则边界条 件变为：
x 0,
x ,
则温度分布为：
t tw1
t tw 2
V 2 x2 V t f 2 h
c1 0

V
h
求得：
c2 t f
V 2 2
带入通解式中可得温度分布为：
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t t w1
热流密度分布：
V 2 x 2
t t w1 w 2 V x 2
q
dt V x dx
温度不随时间变化，即
t 0
导热方程可简化为 ：
d 2t V 0 dx 2
对导热方程连续积分两次：温度分布通解 要求解这个方程需要根据传热知识列边界条件：
t
x 0,
V 2 x c1 x c2 2
dt 0 dx
x ,
dt h t t f dx
2.1.2 微分方程的应用
建立导热微分方程所需的两个原理：一个是傅立叶定律，一个是能量微分方程。 傅立叶定律可表述为：在任何时刻、任何均匀连续介质内，各点的导热热流密度与当地 的温度梯度成正比，即：
t t t q gradt i j k y z x
数学文化与数学思维读书报告
学院：动力工程学院 专业：新能源科学与工程 1 班 学号：20114151 姓名：吴东灵 指导老师：易正俊
目
录
1.写在前面------------------------------------------------------------------------- 1 2.数学在能源动力中的应用---------------------------------------------------- 1 2.1 从简单的导热问题说起 2.1.1 问题的引出-------------------------------------------------------- 1 2.1.2 微分方程的应用-------------------------------------------------- 1 2.1.3 小结----------------------------------------------------------------- 6 2.2 再说风能发电中的风能特点 2.2.1 问题的引出-------------------------------------------------------- 7 2.2.2 概率论和数理统计的应用-------------------------------------- 7 2.2.3 小结---------------------------------------------------------------- 11 3.对数学的看法------------------------------------------------------------------11
b a Bi
2 1
1
A a b 1 e cBi
B
acBi 1bBi
拟合得到： 特征值 1 a b 0.402 2 0.918 8
系数 A
a b c a b c
1.020 1 0.257 5 0.427 1 1.006 3 0.547 5 0.348 3
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2.2 再说风能发电中的风能特点
2.2.1 问题的引出
风是一种清洁能源，利用风能来发电既环保又节能，可以很好的缓解能源短缺问题， 但 是众所周知，风具有不稳定性，会随着时间和空间改变（如下图） ，这就需要建立一些描述 风特性的模型，使风的利用变得相对可靠。
2.1 从简单的导热问题说起
2.1.1 问题的引出
生活中有很多加热或冷却的过程， 在这些过程中因为有温度的差异， 都存在热量传递的 过程，这就会导致受热或受冷物体温度的改变。温度的分布对物体的使用寿命、结构设计及 安全检查至关重要，在电力电子设备、航天航空仪器和发电厂设备中，了解温度分布是必须 的， 那么怎样获得物体任意时刻的温度分布呢？通常对于一个问题的解决， 我们都是从简到 难，逐步深入分析，然后得到解决的。现在我们讨论这样一个问题：给一块大平板加热， 加 热一定时间后，平板内的温度如何分布？
结 论： 温度分布的解析解为一无穷级数之和； 无因次过余温度 Θ 与三个无因次参数有关，即 Fo 数、Bi 数和无因次距离
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t t Θ f Fo, Bi, 0 t0 t
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其中 Fo, Bi 为传热学中的两个无量纲特征数，可以通过图表查的，所以可以方便的求出 任一点的温度分布。 由于特征方程属于超越方程，求解仍很困难，于是引入了近似解法的拟合公式：
求解方法：分离变量法
h x
1 d2X 1 dΓ 2 2 X dx aΓ d
1 dΓ 2 aΓ d
1 d2X 2 X dx 2

x 0,
dX 0 dx
x ,
dX hX dx
通解： X c1 cos( x ) c2 sin( x )
t
由此讨论（如图） ： 若 v =0，温度分布退化为线性温度分布式； 若 v >0，则平板内温度增高； 若 v <0，则平板内温度降低。 求内热源强度足够大时平板内出现最高温度 tmax ，此时只要对温度 t 求导，使求导后的值为 0 即可求出最大温度值的点，再代入温度分布方程就可以求出最高温度
2.数学在能源动力中的应用
我对数学谈不上喜欢，但可以确定的是我对它充满敬畏之情。打个比方，数学就像一 个家庭里父亲，沉默寡言，但是在你需要它的时候便会挺身而出，它不邀功也不作假，说一 不二，这样的“父亲”是我们这个大家庭缺少不了的。下面我就拿本人的切身体会来谈谈数 学文化的博大精深。 本人工科门第，学的是能源动力方面的知识，数学在我们学科上的作用不容忽视， 可 以说数学更是我们的专业基础课。

1
0
cos m d Cn cos n cos m d
1 n 1 0

根据特征函数的正交性，积分上式可得 ：
Cn
2sin n n cos n sin n
所以温度分布为：
2sin n 2 exp n Fo cos n 0 n 1 n cos n sin n
其中： 是导热系数，表征物体的导热能力的强弱，假设物体的导热系数为常数，用微分方 程建立起关于温度分布的数学关系式（有三种坐标系形式） ：
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直角坐标系：
c
柱坐标系：
2t 2t 2t t 2 2 2 y z x
d 2t 0 cos mx 0 dx 2 dt x 0, 0 dx
t tw
0 cos mx cos m m2
x , t tw
扩展二：若不是稳态情况，则
初始条件：
0, t t0
0,
t 0 ，此时的导热微分方程为： 2t 1 t x 2 a
边界条件： x
t 0 x t x , h t t
x
令 t t ，上述方程和条件变为：
2 1 x 2 a
0, 0 t0 t
x 0, 0 x
X x Γ
x ,
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1.写在前面
数学作为一种科学的语言、工具和技术渗透在现代科技的方方面面早已是不争的事 实， 但是现代数学在人们心中的地位却远远没有达到它应当达到的高度。 随着数学专业化程 度的提高， 它仿佛离人们越来越远了。 专业的知识因为艰涩和高深仅仅掌握在少数人手中而 无法被大众共享，这直接导致了新的成果无人理解，获得的奖项无人关注，正如老师所说， 数学人也注定是“孤独的” 。 早就听人说，数学很有用，学好数学很重要，但是我的感觉是：学会了小学数学的加 减乘除等基本运算就可以在社会上正常生活， 学会了初中数学的勾股定理和余弦定理就可以 对基本图形进行测量计算，学会了高中指数函数、对数函数、幂函数等基本的函数就可以解 决比较复杂的问题了， 那么在高中毕业后我就可以不用学习数学了， 为什么上了大学还要学 习高等数学， 概率论和线性代数等让人厌烦的东西呢？所以对于数学的学习， 有人会认为数 学只是升学的工具， 也有人把它当作考验人意志的手段， 还有人觉得根本没有必要规定学习 大学数学。但是，经过大学 2 年的学习，我对那些看似高高在上的数学改变了看法。