25U + 50H≤80 000
为了完成模型的公式化，我们必须为每个目标
创建一个目标等式。首先让我们写出主要目标(目 标1) 的目标等式。每股美国石油有一个0.50 的风 险指数，而每股哈勃房产的风险指数为0.25；因此 ，投资组合的风险指数是0.50U +0.25H。根据 U和 H的值，投资组合的风险指数可能小于、等于或大 干目标值700。 用数学式表达这些可能性，我们得 到如下目标等式：
14. 1. 1 构建约束条件和目标等式 首先，让我们定义决策变量： U——购买的美国石油股票数； H——购买的哈勃房产股票数。 目标规划问题约束条件的处理方法与
一般线性规划问题完全一样。在Nicolo 投资咨询公司的问题中，其中的一个约 束条件对应的是可使用的资金。因为每 股美国石油价值25 美元，同时每股哈 勃房产价值50美元，所以可使用资金的 约束条件表示为；
估。较高的风险指数值意味着较高的风险 ；. 因此，Nicolo公司认为美国石油投资风
险相对较高。这样，通过指定投资组合的 最大风险指数，Nicolo公司将能避免购买过 多的高风险的股票。
为了说明如何用每股的风险指数来计算投资组合
的总风险，我们可以假设Nicolo公司选择将80 000美 元全部用于购买美国石油的股票，这是高风险高收益 的投资。Nicolo公司将购买80 000/25 =3 200 (股)美国 石抽的股票，这个投资组合的风险指数为3 200×0.50 = 1 600。相反，如果Nieolo公司不购买任何股票, 那 么投资组合将没有风险，但是也没有收益。因此，投 资组合的风险指数在0 ~ 1 600之间。
0. 50U + 0. 25H = 700 + （d1+）-（d1-） 式中，
dl+——投资组合的风险指数超过目标值700的数 量；
dl-——投资组合的风险指数少于目标值700 的数 量。
在目称规划中，d1+ 和d1- 被称为偏差变量。 设置偏差变量的目的是允许出现结果不精确等于
为了阐明解决多准则决策问题的目标规划，我们 以Nicolo投资咨询公司所面临的问题为例。有一个客 户有80 000美元用于投资，起初，他的投资分配到两 种股票上：
股票
美国石油
哈勃房产
每股价格 (美元)
25 50
每股预计 年收益 (美元)
3
5
每股风险 指数
0.50 0.25
美国石油有一个25美元的股价，收益 为3 美元，年收益率为12%，而哈勃房产的 年收益率为10%。美国石油的每股的风险 指数为 0.50，哈勃房产的0.25，，这是 Nicolo公司对两种投资项目的相对风险的评
称为目标规划的方法。这种方法用来解决多准则问 题时，通常会使用到线性规划的框架。接下来我们 可以考虑采用计分模型，它也是用来求多准则问题 最优解的. 且相对比较容易。最后，我们介绍层次 分析法 (AHP)。用户使用这种方法，可以在多种标 准和各决策方案中做两两比较，得到各种决策方案 的优劣排序。
14.1 目标规划：建模与图解法
第5章多准则决策
通过前几章的学习，我们知道了各种定量的模型 是如何帮助管理者制定更好的决策的。当我们想得到 最优解时. 我们只是运用一个单一的标准 (例如，最大 化利润，最小化成本，最小化时间)。而在这一章中， 我们将讨论需要决策者考虑多重标准的情况以及在这 种情况下制定最好的决策所需的方法。例如，我们考 虑一家需要为新厂房确定地点的公司。不同地点的土 地成本和施工费用的差别很大，所以与建厂房相关的 成本是选择最优地点的一个标准；如果这个成本是利 益的唯一标准，那么管理者可以通过最小化土地成本 和施工费用之和来简单地确定地点了。
Nicolo公司的客户想避免一个高风险的投资组合 ；因此，将所有意接受的一个风险水平是投资组合的最 大总风险指数为 700。那么，仅考虑风险的话目标就 找到一个风险指数为 700或更小的投资组合。
客户的另外一个目标是年收益至少为 9 000美 元。投资组合只要由 2 000股美国石油 [以2000×25 =50000 (美元)成交]和600股哈勃房产 [以600×50 = 30 000 (美元)成交 ]组成就能达到目标了。这种情况 下，年收益额达到2 000×3 + 600×5 = 9000 (美元) ；但是，注意到这个投资战略的风险指数为 2000×0.50 + 600×0.25 =1150；因此，这个投资组 合达到了年收益的目标，但没有满足风险指数的目 标。
但是，在做任何决定之前，管理者也会考虑其
他的标准，比如，从厂房到公司配送中心的交通是 否便利，所选地点招聘和留住员工上是否有吸引力 ，所选地点的能源成本以及当地的税率。这样，问 题就复杂起来了，因为一个地点在某个标准下是较 具优势的，但在其他标准下又优势不足。
为了介绍多准则决策问题，我们可以使用一种
这个投资组合的选择问题是一个多准则决策问题
，它包含两个互相冲突的目标；一个是风险，一个 是年收益。目标规划正好是用来解决这类问题的。 目标规划能提供一个最接近两个目标的投资组合。 在实际应用理论方法之前，如果只能选择一种的话 ，客户必须决定哪种目标更重要。
假设客户最优先的目标是减少风险，也 就是说.使投资组合的风险指数不超过 700 的 这个目标是如此重要，以至于客户不会以牺 牲这个目标来换取更高的年收益。只要投资 组合的风险指数不超过 700，客户会尽可能 追求最大的收益。基于这个优先级，此问题 的目标如下：
主要目标 (第一优先级) 目标 1：找到一个风险指数不超过700 的 投资组合。 二级目标 (第二优先级) 目标2：找到一个年收益至少为 9 000美元 的投资组合。
主要目标被称为第一优先级目标，二
级目标被称为第二优先级目标。在目标规 划的专业术语里，这些被称为优先级，因 为决策者不会以牺牲第一优先级目标的代 价来换取其他优先级。投资组合风险指数 700是第一优先级 (主要)目标的目标值， 而年收益9 000美元是第二优先级 (二级)目 标的目标值。找到一个满足这些目标的解 的困难在于只有80000美元可供投资.