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信息、部分确定信息等的扩展。 2.2 直觉模糊集 直觉模糊集是对传统模糊集的一种扩充和发展 [3] 。直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非 隶属度函数，能够更加细腻地描述和刻划客观世界的模糊本质。 Atanassov 对直觉模糊集给出如下定义。 定义 1 ：设 X 是一个给定论域，则 X 上的一个直觉模糊集 A 为 [3] ： A = {< x, µ A ( x),ν A ( x) >| x ∈ X } 其中， µ A ( x) : X → [0,1] 和 ν A ( x) : X → [0,1] 分别为 A 的隶属函数 µ A ( x) 和非隶属函数 ν A ( x) , 且对于 A 上的所有 x ∈ X ,0 ≤ µ A ( x) + ν A ( x) ≤ 1 成立。 对于 X 中的每一个直觉模糊子集，称 π A ( x) = 1 − µ A ( x) −ν A ( x) 为 A 中 x 的直觉指数，它是 x 对
（ 1 ）确定理想方案与负理想方案 理想方案 G + 在准则 C j 下相对于模糊概念 “优秀 ” 的隶属度为 1和非隶属度为 0，即
+ − G+ j = {< g ,1,0 >} ，负理想方案 G 在准则 C j 下相对于模糊概念 “ 优秀 ” 的隶属度为 0 和非隶属度为 1 ，
− 即 G− j = {< g ,1,0 >} 。
B = {< x j , µ B ( x j ),ν B ( x j ) >| x j ∈ X } ，两直觉模糊数的 Hamming距离定义为 [6~8] ： D( A, B) = 1 n ∑ (| µ A ( x j ) − µ B ( x j ) | + | ν A ( x j ) −ν B ( x j ) | + | π A ( x j ) − π B ( x j ) |) 2n j =1
Compromise Approach on Multi-criteria Intuitionistic Fuzzy Decision-making with Incomplete certain Information
Wang Jian-qiang; Zhang Zhong （ School of Business ， Central South University ， Changsha ， 410083 ， China ） Abstract ： For a kind of multi-criteria selection problems, in which the information on criteria’s weights is incomplete certain and criteria values are fuzzy number, and the information on criteria’s weights is incomplete and criteria’s values is Intuitionistic fuzzy set, multi-criteria Intuitionistic fuzzy VIKOR method and multi-criteria Intuitionistic fuzzy TOPSIS method with incomplete certain information on weights are proposed. Meanwhile, the range of VIKOR and TOPSIS is developed. And an example is given to explain the feasibility and availability of this method. Keywords: Incomplete certain information; Intuitionist fuzzy sets; VIKOR; TOPSIS
Ri = max ω j D ( Bij , G j + ) / D (G j + , G j − ) = max ω j D ( Bij , G j + )
j
S i 表示方案 ai 的各准则与理想方案的加权距离和， Ri 表示方案 ai 的各准则与理想方案的加权
距离最大值。从 S i 和 Ri 的意义可知，方案 ai 在各个准则下， S i 最小的方案具有最大群体效用， Ri
（ 5）
（ 6）
其中， S = min S i ， S = max S i ， R = min R j ， R = max R j 。
* −
*
−
i
i
j
j
v 表示 “ 大多数准则 ” 策略的权重或是最大群体效用值。在此，取 v =0.5。 （ 4 ）分别按 S 、 R、 Q 值对方案按降序排列，得到三组排序列表。 （ 5 ）如果下列两条件同时满足，按 Q排序中值最小的方案被认为是最优的折衷方案： C 1 ： “ 可接受优势 ” Q( a ( 2) ) − Q (a (1) ) ≥ DQ 1 a ( 2) 为按 Q 排序的列表中的第二优方案， DQ = 。 m −1 C 2 ： “ 决策过程中的可接受稳定性 ” a (1) 必须同时是 S或 / 和 R 排序列表中的最优方案。这个折衷解在决策过程中是稳定的，可能有 下列情况：当 v > 0.5 时，按大多数原则做出选择， v ≈ 0.5 时，选择的结果兼顾整体和个体的评价， 而 v < 0.5 时，对方案集表示否决。这里， v 是 “大多数原则 ”决策策略的权重或是最大群体效用。 如果以上两个条件有一个不满足，将得到一个折衷解集，包括： ① 如果 C2 条件不满足 , a (1) 和 a ( 2) 方案均为折衷解。 ② 如果 C1 条件不满足，得到 a (1) ， a ( 2) ，…， a ( r ) 方案， a ( r ) 通过式子 Q(a ( r ) ) − Q(a (1) ) < DQ 得
（ 3）
ω ∈ H t s.t ∑ ω j = 1 j =1 ω j ≥ 0
（ 4）
由于各方案是公平竞争的，每个方案的距离 S i 和 Ri 应该来自同一组准则权系数，因此必须对 （ 3）和（ 4）进行综合。综合得：
min X = ∑ ∑ ω j D( Bij , G j + ) + max ω j D( Bij , G j + )
i =1 j =1 j m t
Hale Waihona Puke ω ∈ H t s.t ∑ ω j = 1 j =1 ω j ≥ 0 求解线性规划模型（ 5 ） ，得到准则的最优权系数 ω * 。 （ 3 ）计算 Qi (i = 1,2, L , m)
Qi = v( S i − S * ) /( S − − S * ) + (1 − v)( Ri − R * ) /( R − − R * )
2
权系数的不完全确定信息与直觉模糊集
2.1 权系数的不完全确定信息 在此，假定准则权系数的不完全确定信息可以是线性不等式和线性等式的形式，它可分为以 下三类： （ 1 ） {ω : A1ω ≥ b, ω > 0, b ≥ 0}

（ 2 ） {ω : A1ω ≤ b, ω > 0, b ≥ 0} （ 3 ） {ω : A1ω = b, ω > 0, b ≥ 0} 其中 A1 是一个 l × t 的矩阵， ω = (ω1 , ω 2 , L , ω t ) 。 上述三类不完全确定信息是不完全信息、不确定
A 的犹豫程度的一种测度。对于每一个 x ∈ X ， 0 ≤ π A ( x) ≤ 1 。显然，一般模糊子集对应于下列直
觉模糊子集 A = {< x, µ A ( x),1 − µ A ( x) >| x ∈ X } ， ∀x ∈ X ， π A ( x) = 1 − µ A ( x) − (1 − µ A ( x)) = 0 。 定义在论域 X 上的直觉模糊集记作 IFS ( X ) ，直觉模糊集基本运算参见文献 [4] 。 定义 2 ：设 X 是有 n个元素的有限论域， A = {< x j , µ A ( x j ),ν A ( x j ) >| x j ∈ X } ，
如果 g + ∉ X 或 g − ∉ X ，则将其添加到 X 中。 （ 2 ）建立模型 计算 S i 和 Ri ：
S i = ∑ ω j D( Bij , G j + ) / D(G j + , G j − ) = ∑ ω j D ( Bij , G j + )
j =1
j
j =1
t
t
（ 1） （ 2）
2.3 多准则直觉模糊决策问题的描述 假设有 m 个被选方案 , 记为 A = {a1 , a2 ,L, am } ， t个准则 C = {C1 , C 2 , L , C t } 。设 µ li ( x)和ν li ( x) 分别 为方案 a i 关于准则 C j 相对于模糊概念“优秀”的隶属度和非隶属度，其中 0 ≤ µ ij (a i ) + ν ij (a i ) ≤ 1 ，
2

最小的方案具有最小个人后悔值。 对每个方案 ai ，得到优化模型为：
min S i = ∑ ω j D( Bij , G j + )
j =1 t
min R j = max ω j D ( Bij , G j + )
j
ω ∈ H t s.t ∑ ω j = 1 j =1 ω j ≥ 0
µ ij (a i ) ≥ 0 ， ν ij (a i ) ≥ 0 。设准则 Ci 的权系数为 ωi ，G 表示准则权系数的不完全确定信息的集合，试
确定方案集 A 的排序。 从上面得到直觉模糊集： Bij = {< a i , µ ij (a i ), v ij (a i ) >} 。