2．4 反函數·例題解析
欧阳光明（2021.03.07）
【例1】求下列函數的反函數：
解(2)∵y＝(x－1)2＋2，x∈(－∞，0]其值域為y∈[2，＋∞)，
【例2】求出下列函數的反函數，並畫出原函數和其反函數的圖像．
解(1)∵已知函數的定義域是x≥1，∴值域為y≥－1，
解(2)由y＝－3x2－2(x≤0)得值域y≤－2，
它們的圖像如圖2．4－2所示．
(1)求它的反函數；(2)求使f-1(x)＝f(x)的實數a的值．
令x＝0，∴a＝－3．
或解由f(x)＝f-1(x)，那麼函數f(x)與f-1(x)的定義域和值域相同，定義域是{x|x≠a，x∈R}，值域y∈{y|y≠3，y∈R}，∴－a＝3即a＝－3．試求a、b、c、d滿足什麼條件時，它的反函數仍是自身．
令x＝0，得－a＝d，即a＋d＝0．
事實上，當a＋d＝0時，必有f-1(x)＝f(x)，
因此所求的條件是bc－ad≠0，且a＋d＝0．【例5】設點M(1，2)既在函數f(x)＝ax2＋b(x≥0)的圖像上，又在它的反函數圖像上，(1)求f-1(x)，(2)證明f-1(x)在其定義域內是減函數．解法(二) 由函數y＝f(x)與其反函數y＝f-1(x)之間的一一對應關
因為原函數的圖像與其反函數的圖像關於直線y＝x對稱，
∴函數y＝f(x)的圖像關於直線y＝x對稱．。