二次函数的解析式求法求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。

一、 三点型例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函数的解析式是_______。

分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2+bx+c,将三个点的坐标代入，易得a=2,b=-3,c=5 。

故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5.这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c.二、交点型例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点，且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。

分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。

将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y=xx 23212 .三、顶点型例 3 已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。

分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.再将点(1,2)代入求得a=-21∴y=-,4)1(212++x 即y=-.27212+-x x由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。

四、平移型例 4 二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18.分析 逆用平移分式，将函数y=x 2-2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。

∴y=x3)3(22--=++x c bx =x .662+-x ∴b=-6,c=6.因此选（B ）五、弦比型例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a ∆就本题而言，可由对称性求得两交点坐标为A （1，0），B （3，0）。

再应用交点式或顶点式求得解析式为y=-2x 2+8x-6.六、识图型例 6 如图1，抛物线y=cxbx+++)2(212与y=dxbx+-+)2(212其中一条的顶点为P，另一条与X轴交于M、N两点。

（1）试判定哪条抛物线与X轴交于M、N点？（2）求两条抛物线的解析式。

解（1）抛物线y=cxbx+++)2(212与x轴交于M，N两点（过程从略）；（2）因y=dxbx+-+)2(212的顶点坐标为（0，1），∴b-2=0,d=1, ∴b=2.∴Y=1212+x.将点N的坐标与b=2分别代入y=221x+(b+2)x+c得c=6.∴y=221x+4x+6七、面积型例 7 已知抛物线y=x cbx++2的对称轴在 y轴的右侧，且抛物线与 y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，ΔPAB的面积为8。

求其解析式。

解将（0，-3）代入y=cbxx++2得 c=-3.由弦长公式，得122+=bAB点P 的纵坐标为4122b --由面积公式，得.8412122122=--⋅+b b解得.2±=b因对称轴在y 轴的右侧,∴ b=-2.所以解析式为y=322--x x八、几何型例 8 已知二次函数y=2x -mx+2m-4如果抛物线与x 轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求其解析式。

解 由弦比公式，得AB=4)42(42-=--m m m顶点C 的纵坐标为-4)4(2-m∵ΔABC 为等边三角形∴43214)4(2-⋅=--m m解得m=4,32±故所求解析式为 y=,344)324(2+++-x x或y=344)324(2-+--x x九、三角型例 9已知抛物线y=c bx x ++2的图象经过三点（0，2512）、（sinA ，0）、（sinB ，0）且A 、B 为直角三角形的两个锐角，求其解析式。

解 ∵A+B=900，∴sinB=cosA. 则由根与系数的关系，可得⎩⎨⎧=⋅-=+c A A b A A cos sin cos sin将（0，2512）代入解析式，得c=.2512（1）2)2(2⨯-,得,125242=-b ∴57±=b ∵-b ,0〉∴b=-57所以解析式为y=2512572+-x x十、综合型例 10 如图2，已知抛物线y=-q px x ++2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点， 若∠ACB=900，且tg ∠CAO-tg ∠CBO=2，求其解析式．解 设A ，B 两点的横坐标分别为x 21,x ,则q=(-x .)21OB OA x ⋅=⋅ 由ΔAOC ～ΔCOB ，可得OC 2=OA ·OB ， ∴q 2=q 解得q 1=1,q 2=0（舍去），又由tg ∠CAO-tg ∠CBO=2得2=-OB OCOA OC即21 12 1=--XX∴x1+x2=-2x1x 2即 p=2p=2所以解析式为y=-x2+2x+1函数及其图象例 1.二次函数性质的应用例 2.利用二次函数性质求点的坐标∴a(1-3)2-2=0∴a=∴所求二次函数解析式为y=x2-3x+(2)∵ΔP A B的面积为12个平方单位，｜A B｜=4∴×4×｜P y｜=12∴｜P y｜=6∴P g=±6但抛物线开口向上，函数值最小为-2，∴P y=-6应舍去，∴P g=6又点P在抛物线上，∴6=x2-3x+x1=-1,x2=7即点P的坐标为(-1，6)或(7，6)说明：此题如果设图象与x轴交点横坐标为x1，x2，运用公式｜x1-x2｜=，会使运算繁琐。

这里利用抛物线的对称性将线段长的条件转化为点的坐标，比较简便。

例8.如图，矩形E F G H内接于ΔA B C。

E、F在A C边上H、G分别在A B、B C边上，A C=8c m,高B D=6c m,设矩形的宽H E为x(c m)。

试求出矩形E F G H的面积y(c m2)与矩形E F G H的宽x(c m)间的函数关系式，并回答当矩形的宽取多长时，它的面积最大，最大面积是多少?解：∵四边形E F G H是矩形∴H G∥A C∴ΔA B C∽ΔH B G设B D交H G于M则B D与B M分别是ΔA B C和ΔH B G的高。

∴∵H G∥A C,∴M D=H E=x,B M=6-x∴,∴H G=∵y=S矩形E F G H=H E*H G∴y=x*整理得y=-x2+8x∵B D=6∴自变量x的取值范围是0＜x＜6∵x2的系数为-＜0，∴y有最大值当x=-=3时，y最大值==12∴所求函数的解析式为y=-x2+8x(0＜x＜6)，当它的宽为3c m时，矩形E F G H面积最大，最大面积为12c m2。

例9.二次函数y=a x2+b x-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，设x1,x2是方程a x2+b x-5=0的两个根，且x12+x22=26,又设二次函数图象顶点为A，(1)求二次函数的解析式(2)求原点O到直线A B的距离解(1)如图∵-=3∴-=6又x1+x2=-=6x1*x2=-由已知，有x12+x22=26，∴(x1+x2)2-2x1x2=26即(-)2+=26,=26-36解得a=-1∴解析式为y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4(2)∵O B=5,O C=4,A C=3∴A B==3又O A==5∴ΔA O B为等腰三角形，作O D⊥A B于D，∴B D=∴O D=,即原点O到直线A B的距离为三、同步测试：选择题：1.如果点P(3m-p,1-m)是第三象限的整数点，那么P点坐标是()(A).(-2，-1)(B)(-3，-1)(C)(-3，-2)(D)(-4，-2)2.若点P(a,b)在第二、四象限两轴夹角平分线上，则a与b的关系是()(A)a=b(B)a=-b(C)a=｜b｜(D)｜a｜=b3.点P(x,y)在第二象限，且｜x｜=2，｜y｜=3,则点P关于x轴对称点的坐标为()(A)(-2，3)(B)(2，-3)(C)(-2，-3)(D)(2，3)4.函数y=中，自变量x的取值范围是()(A)x≤2(B)x＜2(C)x≠2(D)x＞25.函数y=中，自变量x的取值范围是()(A)x＞-2且x≠1(B)x≥-2且x≠1(C)x≥-2且x≠±1(D)x≥-2或x≠±16.在下列函数中，成正比例函数关系的是()(A)圆的面积与它的周长(B)矩形面积是定值，矩形的长与宽(C)正方形面积与它的边长(D)当底边一定时，三角形面积与底边上的高7.函数y=k(x-1)与y=(k＜o)在同一坐标系下的图象大致如图()8.如果直线y=k x+b的图象过二、三、四象限，那么()(A)k＞0,b＞0(B)k＞0，b＜0(C)k＜0，b＞0(D)k＜0，b＜09.对于抛物线y=-+x-x2，下列结论正确的是()(A)开口向上，顶点坐标是(，0)(B)开口向下，顶点坐标是(，0)(C)开口向下，顶点坐标是(-，)(D)开口向上，顶点坐标是(-，-)10.若a＞0,b＜0则函数y=a x2+b x的图象是下面图中的()11.已知：二次函数y=a x2+b x+c的图象如图，则()(A)a＞0,b＞0,c＞0,Δ＜0(B)a＜0,b＞0,c＜0,Δ＞0(C)a＞0,b＜0,c＜0,Δ＞0(D)a＜0,b＜0,c＞0,Δ＜012.把函数y=2x2-4x-5的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得到的函数图象的解析式为()(A)y=2x2+4x-8(B)y=2x2-8x+8(C)y=2x2+4x-2(D)y=2x2-8x-2填空题13.点A(，-5)到x轴的距离是____；到y轴的距离是____；到原点的距离是____.14.直线y=k x+b与直线y=-x平行，且通过点(2，-3)，则k=__，在y轴上的截距为___.15.一次函数的图象经过(1，-5)点且与y轴交于(0，-1)点，则一次函数的解析式为____.16.已知抛物线的顶点为M(4，8)且经过坐标原点，则抛物线所对应的二次函数的解析式为____.解答题：17.一次函y=x+分别与x轴，y轴交于点A，B，点C(0,a)且a＜0，若∠B A C为直角，求图象过点C与点A的一次函数解析式。