∴
即：
的图像如图所示，
三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法二：顶点式 设解析式为
∵顶点C（1，4） ∴ h=1, k=4.
∴ 又∵A(-1,0)在抛物线上， ∴
∴ a = -1 ∴
即：
的图像如图所示，
三、应用举例
例1、已知二次函数
求其解析式。 解法三：交点式 设解析式为
∵抛物线与x 轴的两个交点坐标
.
例1．已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、 B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式．
解: 设二次函数关系式y＝ax2＋bx＋c ，由已知，这 个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于 其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到
｛a+b=1 a-b=3
解这个方程组，得 a=2，b= -1． 所以，所求二次函数的关系式是y＝2x2－x－1
解:因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数的
关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于
点(0，1)，可以得到
1＝a(0－1)y＝4(x－1)2－3．
即
y＝4x2－8x＋1
.
例3．已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与 x轴两交点间的距离为4，求它的解析式．
分析:
方法1:因为已知抛物线上三个点，所以可设函数关 系式为一般式y＝ax2＋bx＋c，把三个点的坐标代 入后求出a、b、c，就可得抛物线的解析式。 方法2:根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函 数关系式为 y＝a(x＋3)(x－5)，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a的值；
.
课堂练习:
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． (1)已知二次函数的图象经过点(0，2)、(1，1)、 (3，5)； (2)已知抛物线的顶点为(-1，2)，且过点(2，1)； (3)已知抛物线与x轴交于点(-1，0)、(2，0)，且经过点
.
例2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴 交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式.
分析:根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数 关系式为y＝a(x－1)2－3，再根据抛物线与y轴 的交点可求出a的值；
.
例2．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
二、求二次函数解析式的思想方法
1、 求二次函数解析式的常用方法： 待定系数法、配方法、数形结合等。
2、求二次函数解析式的 常用思想：
转化思想
解方程或方程组
3、二次函数解析式的最终形式：
无论采用哪一种解析式求解，最后 结果都化为一般式。
例1．已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、 B(1,0)、C(-1,2)；求它的关系式． 分析:根据二次函数的图象经过三个已知点， 可设函数关系式为y＝ax2＋bx＋c的形式
二次函数的三种解析式及求法
一、二次函数常用的三种解析式的确定
1、一般式 y=ax2+bx+c
已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式。 2、顶点式 y=a(x-h)2+k 已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），通 常选择顶点式。 3、交点式 y=a(x-x1)(x-x2)
已知抛物线与x轴的交点坐标或对称轴， 选择交点式。
分析:根据已知抛物线的顶点坐标(3，-2)，可设函数关系式 为y＝a(x－3)2－2，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由 与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为 （1，0）和（5，0），任选一个代入 y＝a(x－3)2－2，即可 求出a的值．
.
例4．已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)、N(5，0)， 且与y轴交于点P(0，-3)．求它的解析式
为 A (-1,0)、B（3，0）
的图像如图所示，
∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上
∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3) 即：
(1，2)．
2．二次函数图象的对称轴是x = -1，与y轴交点的纵坐标 是 –6，且经过点(2，10)，求此二次函数的关系式．
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三、应用举例
例1、已知二次函数 求其解析式。
解法一： 一般式 设解析式为
∵顶点C（1，4）， ∴对称轴 x=1. ∵A(-1,0)关于 x=1对称， ∴B（3，0）。 ∵A(-1,0)、B（3，0）和 C（1，4）在抛物线上，