2. 圆球形容器的壁厚为δ，内径为D，内压为p， 求容器内任意一点的应力。
ｐ
注：薄壁圆球受力均匀，因此，任意点的 应力状态均相同。
材料力学
1.求水平方向上的正应力σx
ｐ
材料力学
x
F内 x (pD )
x
ｐ
pD F外 p 4
2

F
材料力学
x
0
pD x 4
一.符号规定
1.正应力正负号规定
x
x
x
材料力学
x
压为负
拉为正
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
2.切应力正负号规定

xy
yx
材料力学
使微元或其 局部顺时针方向
转动为正；反之
为负。
注意：切应力角标的含义及切应力互等定理
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
（1）斜面上的应力
40
30 MPa
x y x y cos 2 xy sin2 2 2

60 40 60 40 cos(60 ) 30 sin(60 ) 2 2
60 MPa
9.02MPa
x y
2 60 40 sin(60 ) 30 cos(60 ) 2 sin 2 xy cos 2
和主平面。（举例说明如下）
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
二向应力状态下，单元体各面上应力分量 皆为已知，如下图所示：
y
e
yx
x
xy
x
y
f 求垂直于xy平面的任意斜截面ef上的应力 及主应力和主平面 材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
L
ｐ
注：薄壁圆筒受力均匀，因此，任意点的应力状 态均相同。
材料力学
1.求水平方向上的正应力σx
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
x
x (p D)
x
ｐ
ｐπD２ ４
F
x
0
pD x (pD ) p 4
2

x
材料力学
pD 4
2.求竖直方向上的正应力σy
2
x y
2
cos 2 xy sin 2
得：
max x y
min
2
x y 2 2 ( ) xy 2
注意：
如σx 的代数值大于等于σy，则绝对 值较小的αo确定σmax所在的平面。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
总结：
y
x
薄壁圆筒的三个主应力为：
pD pD 2 x 1 y 4 2
3 z 0
材料力学
薄壁圆筒为两向应力状态
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
注意事项
1.注意单位配套使用； 2.轴向正应力是横向正应力的两倍； 3.按规定排列正应力。
材料力学
课本215页例7.1
四.求切应力的极值（要求低） 思路：
x y
2 sin 2 xy cos 2
d 0 d
1
1 0 p
4
min , max
结论：
最大和最小切应力所在平面与主平面夹角为45°。
材料力学
巩固练习
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
巩固练习
材料力学
1.过受力构件内一点，取截面的不同方位，
这一点在各个面上的（）。
（A）正应力相同，切应力不同； （B）正应力不同，切应力相同； （C）正应力和切应力都相同；
（D）正应力和切应力都不同。
材料力学
2.关于单元体的描述，下列正确的是
（A）单元体的三维尺寸必须是微小的；
（B）单元体是平行六面体；
用单元体的应力状态代替一点的应力状态。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
★同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：
y
y
yx
y''
xy
x
x
yp
x''
xp
x-y坐标系
xp-yp坐标系
对比后者应力状态与前者有何不同。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
主平面：
力和主平面，并绘出主应力单元体。 分析：
40
30 MPa 60 MPa
x 60MPa
y 40MPa
xy 30MPa
详解同上题，略
材料力学
练习三：试求图示单元体的主应力（分析思路）。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
ｐ×Ｄ×ｌ
F
y
y
0
y (2 l ) p(D l )
y
ｐ
y (2 l )
pD y 2
材料力学
3.求垂直于纸面方向上的正应力σz
薄壁圆筒与纸面垂直方向上的σz为零.
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态实例
轴向拉压: F


F

对比同一点在不同截面上的应力是否相同？
即使同一点在不同方位的截面上，它的应力
也是各不相同的，此即应力的面的概念。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
2. 应力的点的概念
M
FS
横力弯曲时矩形截面上正应力和切应力分布图 对比同一个面上不同点的应力是否相同？
同一面上不同点的应力各不相同， 此即应力的点的概念。

60 MPa
48.3MPa
1 68.3 MPa, 2 0, 3 48.3 MPa
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
tan 2 0
Hale Waihona Puke 2 xy x y
αo=15.48°或αo=105.48°
（3）绘制主应力单元体
根据主平面角度和主应力大小绘图 αo=15.48°或αo=105.48°
将两个角度αo均带入公式

得：
x y
2
sin 2 xy cos 2
o 0
可见：
1.α o对应的两个平面为主平面；
2.最大和最小正应力即为主应力。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
将两个角度αo均带入公式求得两个主应力
x y
（C）单元体必须是正方体； （D）单元体必须有一对横截面。
材料力学
3.对于图示承受轴向拉伸的锥形杆上的A点， 哪一种应力状态是正确的。 A
yx
x
xy yx
yx y
xy
x
x
x
材料力学
4.在单元体的主平面上（）。
（A）正应力一定最大； （B）正应力一定为零； （C）切应力一定最小； （D）切应力一定为零。
练习一：一点处的平面应力状态如图所示。
30 x 60MPa xy 30MPa y 40MPa
试求（1） 斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40
30 MPa

60 MPa
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
x
e
yx

e
xy
f
x
x xy
yx
y
a
f


y
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
dA· t cos
微元局部列平衡
n
e
x xy

yx
dA f a


参加平衡的量：
应力乘以其作用的面积
sin y dA·
平衡方程——
材料力学
tan 2 0
材料力学
2 xy
x y
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
tan 2 0
2 xy
分析：
x y
可求出相差90度的两个角度αo 确定两个相互垂直的平面 分别为最大、最小正应力所在平面
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
3.角正负号规定 由x逆时针
y

n
x
转到n为正；
反之为负。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
二.已知如图，求任意斜截面ef上的应力
y
x
e
yx

需利用：
xy
截面法
y
f
x
材料力学
应力和应变分析 强度理论/二向应力状态分析——解析法
截面法求ef斜截面上的应力 y
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
3. 应力状态的概念
应 力
指明
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
过一点不同方向面上所有应力的集合， 称之为这一点的应力状态。
材料力学
应力和应变分析 强度理论/应力状态概述
二.主平面和主应力
• 围绕一点取出单元体
dx , dy , dz 0
2.求竖直方向上的正应力σy
ｐ
材料力学
ｐ
y y
由球体形态的特殊对称性，得
材料力学
pD y x 4