应力应变分析
x y 2
二. 求正应力极值及其作用面
， 均为 的函数，必存在极值。
d 显然有 令 0， 0 0 d 正应力的极值为主应力
方位角：
（确定主应力及主平面位置）
正应力极值：
至于 max , min 是第几主应力，
要求出具体数值与零排序而定。
三. 确定极值切应力及其所在平面
max
2
F
C
1 2 0 3
max
2
C
2 0 3 max
1
四 横力弯曲梁中的主应力及其分析 m m
F
M
FQ
m
3
１ ２
1 1
３
3
2
3
1
1
４ ５
x y 2 2
2
x y 2
两式平方相加 x y 2
2
( x a)
y R
2
2 xy
2
2
x y 2
( x a)
x y 2 2
F
l
FQ
M
A
z
F
max
Fl
切应力强度条件： max
正应力强度条件 ： max
FQ My max max ht Iz
A
z
A
A
A A
问题：A点的强度条件如何建立？
总结： 1. 过一点处所有截面上应力的全部 情况称为一点处的应力状态。
2. 解决复杂受力点的强度计算问题， 分析引起构件破坏的原因 。通过应 力，应变分析，建立了强度理论， 从而解决组合变形下构件的强度计 算问题。
max
180
min 80
90
（160,40）
0 80 180 （100,-40）
单位：Mpa
max
1 3
2
1 180 2 80 30
90
2.空间问题的特殊情况
160
求出 max, min 与-40排队
不看已知主应力, 先解决平面问题。
只有一个主应力不为零-----单向应力状态
有二个主应力不为零-----二向应力状态
有三个主应力不为零-----三向应力状态
例
已知锅炉内径D，壁厚t，压力p 求炉壁内任意点处的应力。
轴向应力： p
环向应力：
p
外壁大气压 相对 x , 很小，可略。 内壁压力 p
可认为内壁处于二向受拉
100
40
-40
80
180
1 3 max 110 2
1 180 2 80 3 40
40
80
50
80
1 80 2 50 3 50
max
1 3
2
65
1
得极值切应力
1.3
1 3
2
2
1
2.用平行
3 的平面
3
切单元体, 得
1 2
组成的应力圆
3 2
1
得极值切应力
1.2
1 2
2
3 2
1 3
2
1
任意面应力在三个圆组成的黄色区域内
单元体
max
max max min 纯剪特点： t max max c max
3
max
1 tan 2 0
min
0 45 或135
max min 显然有： 1 2 0 3
{
1
2
应力分析的实质和前提
实质：由原始单元体， 求各截面上的应力
前提：从受力构件中正确 取出原始单元体
§7 .2 二向应力状态分析----解析法 y 设在受力构件中取出 x 二向应力状态的最一 般情况的原始单元体， xy
既已知面上的应力 x y ，xy 。
因已知一个主平面，可 将单元体用平面代替。
m
主应力迹线
应用于钢筋混 凝土的制做中
1. 1 0, 2 3 0 问题： . 1 2 3 0 2 3 . max ? 单元体 ４.空间体（ , , ）面上应力
§7.4 三向应力状态分析
一. 一般情况
xx xy xz 可用六个独立
1 3 max 13 2
1 min 3
单向.二向可扩展到三向
三. 三向应力状态的特殊情况 应用平面应力分析的结论解三向应 力问题的必要条件: 1.平面问题，求出 max 后与0序, min 定: 已知一个主应力(主平面)
1 2 3
例：
160 100 40
y
xy
x
一. 确定平行于z轴的任意斜截面上 的应力 ,
y
{
xy
x
依截面法：切、取、代、平。
整理有：
f ( ) g()
x y 2 x y
2
cos 2 xy sin 2 sin 2 xy cos 2
分量表示 x
九个应力分量T yxyyyz
y
yz
z
xz
xy x
zx zy zz
y z xy yz xz
可求
{
, , ）上的应力 任意面（
主应力
max
y
切应力的符号规定
xz
xz
:
z
x xy
x表示切应力作 用面外法线方 向 z表示的指向
二 . 三向应力圆
1
1
2 = 3 =
=0
=
2 = 3=
= 2 =0 3 =0
=
2 == 0 3 3
Байду номын сангаас
=0 2 =0
1
1
1
结论：
max
1 2 3
x y z
单元体与应力圆一一对应关系
——纵坐标 2
max （极值）
min
——横坐标
转向相同
面——点
相互垂直面—直径两端点
90
0
2 180
圆的半径
0
主应力——横坐标交点
（极值）
max—纵坐标最大值（圆半径）
—圆心坐标
应力圆与单元体点面对应关系口诀 圆上点，体上面， 直径两端两垂面；
已知主应力
2
1 2 3 ,作应力圆
3
1
2
1
3
1.用平行 1 的平面 切单元体, 得 2 3 组成的应力圆
3 2
得极值切应力
2.3
2 3
2
2
1
2.用平行
3
2 的平面 切单元体, 得 1 3
组成的应力圆
3 2
3. 截面法的应用 研究原始单元体其他面上的应 力情况应用截面法，可求任意 面上的应力情况。从而确定单 元体的最大正应力和最大切应 力。
三. 应力状态分类
的面-----主平面 主平面上的应力-----主应力 1 2 3 主单元体----三个主平面构成的单元体
1. 定义
0
2. 分类
难点: 取单元体
原始单元体 危险点 指定点
技巧：紧紧抓住横截面，及其上 的应力分布规律，应用切 应力互等定理。
二. 研究方法----单元体平衡
1. 取出原始单元体
x
x
单元体----六面体（微体） 原始单元体----面上的应力已知 2. 应力规定 单元体面上的应力均布 相对面上的应力相等 ----拉为正，压为负 + ----对单元体内任意点取矩
§7.1 应力状态概述
问题的提出：
1. 什么是应力状态?
2. 为什么要研究应力状态?
3. 怎样研究应力状态?
一. 一点处的应力状态
cos sin
2
2
max max
2
sin 2 cos 2
max min max
第七章 应力和应变分析 强度理论
§1 应力状态分析 §2 二向应力状态分析的解析法
§3 二向应力状态分析的图解法
§4 三向应力状态分析
§5 平面应力状态下的应变分析
§6 广义胡克定律 §7 复杂应力状态的变形比能 §8 强度理论的概念 §9 四种常用强度理论
§10 莫尔强度理论和双切应力强 度理论简介
2 1
2 0
1=60.7 2= 0 3 80.7
