6. （2010浙江杭州调研）设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b ,
第四单元 平面向量
4.1
平面向量的概念及线性运算
、选择题
1.在厶 ABC 中，AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =(
)
2 1
A ・3b + 3c
5
2 B ・3c — 3b C.2b -3c
3 3 1 2 D ・1b + 3c
…AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案：A 2. （2010广东中山调研）已知a 、b 是两个不共线的向量，AB =入a b, AC = a +讥入 此R ）,
那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( )
A . ?+尸 2
B .入一 (i= 1
C . 入=—1
D . 入=1 解析 由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人 卩€ R ）及 A 、B 、
C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t
所以 入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ，即入 =1.
1 = t 3 答案 :D
3. （2009 •东）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BC + BA = 2BP ，则（
） A . PA + PB = 0 C . PB +
PC =0
B . P
C + PA = 0
D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」
解析：如上图，根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点,
故 PA + PC = 0.
答案：B
4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ，若PA + PB + PC = AB ，则（
）
A .点P 在厶ABC 外部
B .点P 在线段 AB 上
C .点P 在线段BC 上
D .点P 在线段AC 上
解析：•/ PA + PB + PC = AB , ••• PA + PB + PC = PB — PA
••• PC = — 2PA.A 2PA = CP ，•点 P 在线段 AC 上. 答案：D
、填空题
5. （2009宁夏银川模拟）若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等，则四边形 ABCD 是
解析：•/ AB = — 3CD , ••• AB // CD ，且 |AB|M |CD|. 5
答案：等腰梯形
解析:
D
C =AC — AB = b- c , B
D = 2BC = 2(b — c),
若A 、B 、D 三点共线，则实数 p 的值是 ____________ .
解析：•/ BD = BC + CD = 2a — b ,又A 、B 、D 三点共线，•••存在实数 入使AB = ^BD.
2= 2入
即
，•• p = — 1.
p =—入
答案：—1 7.在△ ABC 中，CA = a , CB = b , M 是 CB 的中点, 于点
P ,则AP 可用a 、b 表示为 _______________ . 解析：如图所示，AP =
AC + CP =— CA + 3CN
T 2
1 f 1 T 1 T
=—CA + 3x 2(CA + CB)=— CA + 3CA + 3CB 2 f 1 f 2
1
=—3CA + 3CB = —3a + 3b .
答案：—fa + fb
三、解答题 8 •设两个非零向量 a 与b 不共线，
(1) 若AB = a + b, BC = 2a + 8b , CD = 3(a — b),求证：A 、B 、D 三点共线;
(2) 试确定实数k ，使k a + b 和a + k b 共线.
证明：(1) •/ AB = a + b , BC = 2a + 8b , CD = 3(a — b),
•• BD = BC + CD = 2a + 8b + 3(a — b) = 2a + 8b + 3a — 3b = 5(a + b) = 5AB.
• AB 、B D 共线.又它们有公共点 B ,• A 、 (2)解答：••• k a + b 与a + k b 共线，.••存
在实数 即 k a + b =入 a “b ,「・(k — “a = ( “一 1)b.
•「a 、b 是不共线的两个非零向量，• k — “=
=tb — a.
要使A 、B 、C 三点共线，只需 AC =瓜B.即—2a + 3b =入t —入a
N 是AB 的中点，且CN 、AM 交
B 、D 三点共线.
人使 k a + b = “a + k b),
氷一1 = 0,.・.k 2— 1= 0.A k = ±.
9. （2010安徽合肥调研）若a , b 是两个不共线的非零向量， a 与b 起点相同，则当t 为何值
时，a , tb , 3（a + b ）三向量的终点在同一条直线上？
解答：设 OA = a , OB = tb , OC = 2（a + b ）,「. AC = OC — OA =—吕a + £b , AB = OB — OA —2 =—人 •••有 3 1 ="
2 “=3, 1 •••当t =寸时，三向量终点在同一直线上.
10.如图所示，在△ ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，AE = ：AD, AB = a, AC= b.
f 1 f
解答：⑴延长AD到G,使AD = ^AG ,
连接BG、CG,得到?ABGC，所以AG= a+ b,
f 1 f 1 f 2 f 1
AD = 2AG = 2(a + b), AE = 3AD = §(a+ b).
~f 1 ~f 1 -> 1 1
AF = 2AC = 2b, BE = AE —AB= §(a + b) —a= ?(b—2a). B F = AF —AB = 2b—a =
*(b-2a).
f 2 f
(2)证明：由(1)可知BE = ^BF，所以B、E、F三点共线.
★选槪题
1. （2010创新题）已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若OB = ajoA + a? 010O C，且A、B、C 三
点共线（该直线不过点0）,贝U S2 010等于（）
A. 1 004
B. 1 005
C. 2 010 D . 2 011
解析：•/ A、B、C三点共线,
•••存在一个实数人使AB = AC，即0B —0A= %0C—0A), /. OB =(1 —力0A+Oz
又■/ OB = a1OA + a2 010OC, • a1+ a2 010= (1 —为+ 匸 1,
~2 ~1 -> -> 2 ~1 2. （★★★★）如右图所示，设P、Q为厶ABC内的两点，且AP = 5AB + 5AC, AQ = ?AB +：
AC，则△ ABP的面积与厶ABQ的面积之比为__________ .
AN = 1A C,则AP= AM + AN，由向量的平行四边形法
AN
AC
解析：如图所示，设AM = 2AB,
5
S^ ABP
则，知NP // AB，所以----- =
ABC
⑴用a、b表示向量AD、AE、AF、BE、BF ; （2）求证：B、E、F三点共线.
A
a1 + a2 010
S2 010= 2 X 2 010= 1 005.
答案：C
ABQ S ^ ABC
答案：4 5 同理可得
1 ,, S ^ ABP 4 1,故贡=4.。