注重“基本套路”才是好数学教学
章建跃
关于“好数学教学”，我们已经连续讨论了好几期了。

我想不厌其烦地强调“好数学教学”的根本标准是“数学育人”，也就是要在学生的终身发展上产生最大的长期利益。

由数学的学科性质所决定，这种“利益”首先体现在学生通过数学学习而发展了逻辑思维能力，并学会了思考，也就是掌握了研究问题的“基本套路”。

什么叫研究问题的“基本套路”呢？熟悉人教A版教科书的老师一定对下面的逻辑图印象深刻：
这就是“基本套路”。

如果在教学中，一有机会就引导学生以这个逻辑图为指导展开思考活动，那么经过长期熏陶，就能使学生在潜移默化中养成一种思考习惯。

最终，当他们独立面对一个新的研究对象时，就不会感到无从下手，那种“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”的现象也就能杜绝了。

更重要的是，“基本套路”是培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力的落脚点。

高中数学中，“基本套路”的教学载体比比皆是。

例如，从tan(α＋β)=出发：令β＝α（特殊化），有tan2α=；令β＝π（特殊化），有tan(π＋α)=tan α（诱导公式）；更特殊地，令α＋β＝，有tan α＋tan β＋tan αtan β＝1……我们可以通过“特殊化”而“制造”出形形色色的三角恒等式，如：已知α＋β＝，求证tan α＋tan β＋tan αtan β＝。

当然，还可以通过“推广”来“制造”，如将“二元”推广到“三元”，有tan(α+β+γ)=；再令α+β+γ=kπ
（k∈Z）（特殊化），又有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ；或令α+β+γ=而得tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1；
当然还可以推广到“n元”。

通过这个例子我们可以看到：第一，如果学生掌握了“基本套路”，那么他们自己也能“创造”出许多数学题目来，这样的学习既可以让学生学会思考，也可以让他们学得更主动、更有趣；第二，课标减少三角恒等变换内容和课时、降低变形的难度是非常正确的，在三角恒等变换上花费过多的时间和精力，让学生做一些与数学核心概念关系不大且人为制造的繁难变形，意义不大，的确有浪费学生时间的嫌疑，甚至是一种“与学生过不去”的行为；第三，在三角恒等变换中注重“基本套路”的教学，就是落实课标“引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公
式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。

鼓励学生独立探索和讨论交流，引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练”的教学建议，就是发挥了它的教学价值。