绝密★考试结束前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学
姓名准考证号
本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：
如果事件A ,B 互斥,那么柱体的体积公式P (A +B )=P (A )+P (B )
V =Sh
如果事件A ,B 相互独立,那么其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高P (A ·B )=P (A )·P (B )
锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n V =
Sh
次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高P n (k )=k n C p k
(1－p )n -k (k =0,1,2,…,n )
球的表面积公式台体的体积公式
S =4πR 2球的体积公式其中S 1,S 2分别表示台体的上、下底面积,V =πR 3
h 表示台体的高
其中R 表示球的半径
选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}14P x x =<<，，则P Q =
A ．{}
12x x <≤B ．{}
23x x <<C ．{}
23x x <≤D ．{}
14x x <<2．已知a R ∈，若()12i a a -+-(i 为虚数单位)是实数，则a =
A ．1
B ．1
-C ．2
D ．2
-3．若实数,x y 满足约束条件310
30x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩
，则2z x y =+的取值范围是
A ．(],4-∞
B ．[)4,+∞
C ．[)5,+∞
D ．()
,-∞+∞3
13
4
12()1
3
V
h S S =
4．函数cos sin y x x x =+在区间[]π,π-+的图像大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
5．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是
A ．
7
3
B ．
143
C ．3
D ．6
6．已知空间中不过同一点的三条直线,,m n l ，则“,,m n l 在同一平面”是
“,,m n l 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差0d ≠，
1
1a d
≤.记12b S =，122n n n b S S ++=-，*n N ∈，下列等式不可能成立的是A ．426
2a a a =+B ．426
2b b b =+C ．2
428a a a =D ．2
428
b b b =8．已知点()0,0O ，()2,0A -，()2,0B .设点P 满足2PA PB -=，且P 为函数234y x =-图像
上的点，则OP =A ．
22
2
B ．
105
C ．7
D 10
9．已知,a b R ∈且0ab ≠，若()()()20x a x b x a b ----≥在0x ≥上恒成立，则
A ．0
a <B ．0
a >C ．0
b <D ．0
b >10．设集合,S T ，*S N ⊆，*T N ⊆，,S T 中至少有两个元素，且,S T 满足：
①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈；②对于任意,x y T ∈，若x y <，则
y
S x
∈；下列命题正确的是A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S T 有4个元素D ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素
非选择题部分(共110分)
二、填空题：本大题共7小题，共36分。
多空题每小题6分；单空题每小题4分。
11．已知数列{}n a 满足()
12n n n a +=，则3S =▲.
12．设()5
234512345612x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =
▲；123a a a ++=
▲.
13．已知tan 2θ=，则cos 2θ=▲
；πtan 4θ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭▲.
14．已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为
▲.
15．设直线():0l y kx b k =+>，圆221:1C x y +=，()2
22:41C x y -+=，若直线l 与12,C C 都相切，
则k =▲；b =▲.
16．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿
出黄球的个数为ξ，则()0P ξ==
▲
；()E ξ=
▲
.
17．设1e ，2e 为单位向量，满足1222e e -≤，12a e e =+，123b e e =+，设,a b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为▲.
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.（本题满分14分）
在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 3b A a =．（Ⅰ）求角B ；
（Ⅱ）求cos cos cos A B C ++的取值范围．
19.（本题满分15分）
如图，三棱台-DEF ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，45ACB ACD ∠=∠= ，2DC BC =.
（Ⅰ）证明：EF DB ⊥；
（Ⅱ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．
（第19题图）
20.（本题满分15分）
已知数列{}{}{},,n n n a b c 中，1111a b c ===，11n n n c a a ++=-，()*12
n
n n n b c c n N b ++=
⋅∈．（Ⅰ）若数列{}n b 为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d
++⋅⋅⋅+<+
．21.（本题满分15分）
如图，已知椭圆2
21:12
x C y +=，抛物线()22:20C y px p =>，
点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （,B M 不同于A ）．（Ⅰ）若1
16
p =
，求抛物线2C 的焦点坐标；（Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．
22.（本题满分15分）
已知12a <≤，函数()e x f x x a =--，其中e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在()0,+∞上有唯一零点；（Ⅱ）记0x 为函数()y f x =在()0,+∞上的零点，证明：
（i
0x ≤≤；（ii ）()
()()00e e 11x x f
a a ≥--.
（第21题图）。