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安庆师范学院学报 ( 社会科学版 )
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义。作为前一阶段研究主题的进一步深化 , 相应 地, 数理逻辑的研究重心逐渐由构造演算的形式 化系统转换到研究形式系统本身, 将形式系统作 为数理逻辑研究的客体 , 回答形式系统的一致性 和完备性问题。这种研究属于对形式系统的元逻 辑、 元数学层面探讨。 在元逻辑方面 , 数理逻辑学家们先对命题演 算系统的一致性问题做了肯定性回答, 1921 年波 斯特证明了命题演算的完全性。而哥德尔的 逻 辑谓词演算公理的完备性 一文的发表标志谓词 演算完全性证明的完成。1928 年希尔伯特和阿 克曼在 理论逻辑基础 一书中将狭谓词演算从逻 辑演算中分离出来并证明了其一致性。总之 , 在 对形式系统的元逻辑追问中, 逻辑系统的一致性 和完备性在古典演算 部分得到证明。在此基础 上, 逻辑学家用古典演算的元逻辑方法来处理非 古典逻辑 , 在逻辑演算方向上取得很大进展。主 要有两条进路: 一是增加逻辑常项或赋予古典逻 辑的常项以不同解释 , 同时减少或增加一些基本 公理 , 在构造逻辑、 多值逻辑等非古典的纯逻辑理 论上获得突破。二是建立各种不同的应用逻辑体 系, 如认知逻辑、 道义逻辑、 算法逻辑等等, 主要做 法是在古典逻辑以外增加一些非逻辑的常项和公 理 。这两条进路不断丰富着数理逻辑的演算系 统。 在元数学方面 , 对形式化数学公理系统的元 数学追问深化了关于 数学基础问题 的研究。 19 世纪中叶以后, 随着数学基础研究不断获得新成 果, 关于什么是数学的出发点、 数学证明的性质、 如何认识无穷等问题的争论愈演愈烈 , 甚至导致 古典数学能否成立的争论。为了从根本上回答这 些问题, 消除人们对数学理论的怀疑, 希尔伯特提 出了著名的 希尔伯特纲领 , 将数学公理系统形 式化并力图证明形式化后的数学系统是一致的和 完备的。他从形式主义的数学观点出发 , 提出了 证明论思想, 认为可以用有穷方法去证明具有无 穷对象域的古典数学 的形式系统而 不会导致矛 盾 。然而 , 哥德尔在 PM 及有关系统中的形式 不可判定命题 一文中提出了两个著名的不完全 定理并给出严格证明: ( 一 ) 一个包括初等数论的 形式系统 P , 如果是一致的, 那么就是不完全的; ( 二) 如果这样的系统是一致的, 那么其一致性在 本系统中不可证明。这就宣布了希尔伯特方案的 破产[ 7] 。但证明论并未因此终结 , 在得知不完全
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2010 年 11 月 第 29 卷第 11 期
安庆师范学院学报 ( 社会科学版)
Journal of Anqing Teachers College(Social Science Edition)
Nov. 2010 Vol. 29 No. 11
数院 , 重庆 400038)
摘
要: 近代数学理念的复兴和数学工具的应用推动了自然科学的巨大发展 , 为 数理逻辑的产生 提供了思想契机。
数理逻辑源于莱布尼茨提出的思维可计算构想 , 其展开和深化是建立了 命题演算 和谓词演 算等公理 系统和对 形式系统 的元层次研究。数理逻辑未来发展将扬弃纯形式发展阶段 , 达到形式与内容在更高层面的统一。 关键词: 传统逻辑 ; 数理逻辑 ; 发展逻辑 ; 未来趋向 中图分类号 : B813 文献标识码 : A 文章编号 : 1003- 4730( 2010) 11- 0048- 04
传统的形式逻辑自亚里士多德创建以来, 作 为思维的工具被人们应用了两千余年。随着人类 活动广度上的扩大和深度上的增加, 亚氏逻辑的 缺陷逐渐显露出来, 如不包括关系推理 , 不区别单 称命题和全称命题等 , 更重要的是它没有获得完 全的公理化和形式化 , 不能使人类对逻辑工具的 客观有效性要求得到完全满足, 难以使人类思维 获得高度的明确化和清晰化。 近代科学的发展为新逻辑理论的建立和发展 提供了启示和契机。从文艺复兴到 17 世纪后期, 近代自然科学在物理学尤其是力学方面取得巨大 进步 , 其中最重要思想动力是数学精神的复兴和 数学方法的应用。哥白尼因信奉数学的 简单 、 和谐 理念, 才以 日心说 代替 地心说 [ 1] 27 ; 伽 利略坚信 自然这部书是一本由上帝用数学语言 写成的书
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是反映有效推理的语法形式, 也就是说 , 如果一个 推理经过翻译、 赋值、 计算而断定其为重言式 , 就 可以宣布这个推理形式是正确有效的。在这个认 识基础上 , 就能够构造一个命题演算系统, 该系统 具有如下特征 : 从语义层面上看, 它要涵盖命题逻 辑的一切有效推理形式; 从语法层面上看, 它要将 一切重言式包含在系统之内。 经由弗雷格、 皮亚诺、 罗素以及后人的努力, 现在我们已经得到一个经过严格证明的形式化的 命题演算系统 , 它主要有四个要点和两个部分构 成。四个要点是: 基本符号、 语言生成规则、 公理、 变形规则 ; 两个部分是 : 由基本语言生成其他语 言, 由基本定理生成其他定理。对于这个系统, 需 要把握三点: 其一 , 它是严格证明的 。该系统要求推理所 遵循的规则必须是已给出且十分明确的 , 没有不 按已给定规则而进行的推演。它还要求除了已给 定的公理和已证明的定理外, 在证明过程中不得 不自觉地附加其他隐含前提。 其二 , 它是一个由命题逻辑重言式组成的公 理系统。该系统是从一些作为初始命题的重言式 出发 , 应用明确的推演规则, 推导出一系列重言式 的演绎体系。 其三 , 它是进一步形式化的形式系统。虽然 命题逻辑使用表意的人工符号, 但在形式化过程 中, 逻辑词项的含义被消解或搁置 , 人们看到只是 不同形状的符号按照一定的规则而进行的排列和 变形。系统中的可证公式需要经过解释才能成为 逻辑定理。 命题演算是将逻辑演算的基本单位规定为原 子命题变元, 这一策略扩大了逻辑学的应用范围, 但会导致逻辑分析不深入 , 有的命题不能被准确 刻画。为了解决这一问题 , 弗雷格在命题演算的 基础上又引入数学中的函数概念, 提出了命题函 项理论, 将真值函项命题中的主、 谓词分开 , 同时 还创造了约束变项 , 引进量词的概念。在他及后 来逻辑学家的努力下 , 建立了另一个成熟的公理 系统 狭谓词演算系统。该系统应用命题函项 理论和两个量词( 、 ) , 将命题逻辑和三段论逻 辑统一在一个更大的系统中[ 4] 613 。 三、 逻辑深化: 对形式系统的元层次研究 在构造逻 辑演算系统并 将其形式化 的过程 中, 人们逐渐掌握了公理化、 形式化等强大逻辑工 具, 认识到形式系统对于数理逻辑理论的重要意
* 收稿日期 : 2010- 05- 24
作者简介 : 王力钢 , 男 , 河北黄骅人 , 重庆沙区高滩岩第三军医大学人文社科学院讲师 , 硕士 , 浙 江大学语言与认 知研究中心访问 学 者。
第 11 期
王力钢 : 数理逻辑的发展及未来趋向
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内容间存在制约关系 , 若修改语法规则就改变了 语义内容。这样, 适当修改语法规则就可以对代 数系统进行重新解释 , 就能使它在逻辑领域内获 得意义。在这个思想的指导下, 布尔构造了一个 抽象代数系统 布尔代数 , 并对它做了新的逻 辑解释。于是他在逻辑史上最先提出了一个逻辑 演算 , 实现了莱布尼茨的一部分设想[ 4] 598- 603 。 数理逻辑的首要目标是将日常思维变成具有 演算性质的科学, 在这个过程中需要跨越由思维 非数量转变为数量化的障碍。布尔虽然成功地将 三段论这个不属于量化范畴的日常思维系统改写 成具备可计算性质的数学系统, 部分地完成了这 个任务, 但由于此系统仅适用于主谓结构的日常 思维 , 在应用上有较大的局限性。因此在他之后, 逻辑学家面临的是如何在更大范围内将非数学对 象转化为数学对象的问题。 在这方面取得重大突破的是弗雷格的真值函 项理论。他通过抽象日常用语中的联结词 , 创造 了五个重要的逻辑算子 、 、 、 、 , 分别标示日常思维中的 并且 、 或者 、 如 果 则 、并非 、 等于 五个联结词。通过它 们, 日常思维可以被符号化并达到可计算的目的。 虽然真值函项理论是建立在外延理论之上 , 只能 解决那些能够归结为真假情况的问题 , 只能在外 延方面刻画日常思维中的重要概念, 但在沟通数 量和非数量领域, 使日常思维获得可计算性性质 方面起着至关重要作用 。 二、 逻辑展开: 形式系统的构造 通过莱布尼茨、 布尔、 弗雷格三人的努力, 逻 辑学在近代突破了原有的局限性, 终于获得了符 号化和可计算性质 , 数理逻辑初步建立。按照其 发展逻辑的展开线索 , 对形式化公理系统的构造 成为数理逻辑研究的中心课题。在这个发展阶段 上, 逻辑学家建立了很多公理系统, 其中最基础、 最重要的是命题演算和谓词演算。 弗雷格在引入特制人工符号语言的基础上, 突破词项逻辑的传统 , 以原子命题为基本单元通 过逻辑算子联结命题变元构造复合命题 , 得到一 系列真值函项。在古典二值逻辑的讨论范围内, 通过命题符号的赋值计算 , 可以将这些无穷尽的 真值函项分为三类: 可满足式 它的取值可真 可假 , 是可以满足的 ; 永假式 不管命题变元如 何取值, 函项的取值永远为假 ; 重言式 它的取 值永远为真。经过分析 , 逻辑学家认识到重言式
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一、 发展起点: 思维可计算构想的提出与实现 数理逻辑产生的思想渊源是莱布尼茨提出的 思维可计算构想。其后 , 布尔和弗雷格为实现这 一伟大构想, 模仿数学对传统逻辑进行符号改写, 建立的布尔代数系统和真值函项理论成为数理逻 辑发展的真实逻辑起点。 莱布尼茨是试图以数学方法处理逻辑问题的 第一人。他看到在数学中有代数式、 方程式和方 程变形, 而逻辑学中有概念、 判断和推理, 两者在 结构上有相似性。因此 , 似乎可以参照数学符号 建立一套人工符号 语言 先 设计出表 意的字 母, 通过字母运算构成复杂概念的符号 , 最后用字 母、 等式排列作为句子符号。这样 , 通过它们就有 可能进行 思维的演算 , 可以对传统的形式逻辑 进行可计算性的量化。 他预言, 如果新的语言是 完善的, 那么对于解决任何方面的争端怀有善良 愿望的人们将把他们的笔拿在手中, 并且说进行 演算吧 [ 3] 423 。虽然莱布尼茨未能最终创立他所 期望的符号语言, 但他提出的符号化方案具有划 时代 的意义, 并因此被尊为 现代逻辑的创始人。 紧随莱布尼茨之后的布尔尝试以人工语言改写亚 里士多德的三段论逻辑并获得成功, 建立了布尔 代数系统。莱布尼茨只从语法方面看到代数符号 和自然语言之间的类似 , 布尔却更为高明地从语 法和语义两方面看问题 , 他认为语法规则与语义