第九章定解问题的物理意义基本要求与教学内容：1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意义,根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。

2、第一、第二类边界条件的物理意义。

根据具体物理问题，掌握确定这两类边界条件的方法。

3、初始条件的意义及确定。

本章重点：掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。

第十章利用积分变换解无界问题基本要求与教学内容：1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理解其解的物理意义。

2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。

本章重点：利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程第十一章一维有界问题的分离变量基本要求与教学内容：1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解形式。

2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。

3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(tT方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。

4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次方程和齐次边界条件的本征函数的确定；2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开；3)求解关于)(tT 方程的解；4)定解问题的解。

5、掌握非齐次边界条件的齐次化。

本章重点：⏹第二类齐次边界条件的本征值和本征函数⏹用分离变量法求解一维有界问题的解⏹利用本征函数展开解一维有界非齐次方程⏹非齐次边界条件的齐次化第十二章 球坐标的分离变量 Legendre 多项式 基本要求与教学内容：1、 了解波动方程、热传导方程的分离变量，Helmholtz 方程的导出和含时间变量满足的方程。

2、 了解Helmholtz 方程在球坐标中分离变量得到的三个方程，Legendre 方程。

3、 L egendre 方程的解，Legendre 方程的本征值问题：)()(3210)1()10)1('2'')1112x P x y l l l y y x y l l xy y x l x x ==+⎪⎩⎪⎨⎧==≤=++--±=≤本征函数：，，，，本征值：有限有限（（4、 L egendre 多项式的性质：1) 重要的公式：)()1()(,1)1(x P x P P l l l -=-=)35(21)(),13(21)(,)(,1)(232210x x x P x x P x x P x P -=-===（要求记忆） 2) Legendre 多项式的母函数∑∞==+-02)(211l l l r x P rxr1011<<≤≤-r x3) Legendre 多项式的递推关系（不要求记忆）0)()()12()()1(11=++-+-+x lP x xP l x P l l l l )()()()12('1'1x P x P x P l l l l -+-=+4) 掌握Legendre 多项式的正交关系和广义 Fourier 展开正交关系lk k l l dx x P x P δ122)()(11+=⎰- ∑∞==0)()(l l l x P C x f dx x P x f l C l l ⎰-+=11)()(212 亦可以利用系数比较法计算系数l C 。

5、 熟练掌握稳态轴对称问题1）首先根据具体物理问题写出相应的定解问题； 2）稳态轴对称问题的通解定解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==∇=)(),(0),(2θθθf r u r u a r)(cos )(),(01θθl l l l l l P r Br A r u ∑∞=++=3）稳态轴对称问题的特解：a)根据定解问题的物理意义选择特解，球内问题和球外问题通解的系数l A 和l B 的取值 。

0≡≡l l A B 球外问题：球内问题：b ）由边界条件)(),(θθf r u a r ==，利用系数比较法确定特解的系数l A 或者l B 。

本章重点：⏹ Legendre 多项式的性质 ⏹ 稳态轴对称问题的解第十三章 柱坐标的分离变量 Bessel 函数 基本要求与教学内容：1、 掌握波动方程、热传导方程的分离变量中含时间变量满足的方程，Helmholtz 方程在柱坐标中分离变量得到的三个方程以及各个参数的意义，Bessel 方程。

2、 周期性边界条件的本征值问题：1）本征值问题 ⎩⎨⎧Φ=+Φ=Φ+Φ)()2(0)()(2"ϕπϕϕϕn2）通解 {}{} ,,,,,1)(2ϕϕϕϕϕin i i in n e e e e ±±±==Φ 或者 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=Φϕϕϕnn c o s s i n )( n=0,1,2,3,… 3）本征函数{}ϕin e 的正交关系及按本征函数{}ϕin e 的Fourier 展开3、 熟练掌握圆域Dirichlet 问题的通解与特解定解问题⎪⎩⎪⎨⎧==∇=)(),(0),(2ϕϕρϕρρf u u a通解 ϕρρρβαϕρin n n n n nne B A u ∑∞≠-∞=-+++=0,00)(ln ),(或 )c o s s i n ()(ln ),(100ϕϕρρρβαϕρnD C B A u n n n n n n n ++++=∑∞=- 特解：根据定解问题的物理意义选择通解的各项,00,000≡=≡=n n A B ββ圆外问题：圆内问题：由边界条件，利用本征函数{}ϕin e 的正交关系，确定特解的系数，亦可以利用系数比较法。

4、 B essel 方程的解，)(ρR 满足的方程的本征值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤=-++=≤0)()(0)(][)()("2222a a R R a R n k R R ρρρρρρρρρρρ有限本征值： ax k n m nm = （n m x 是n 阶Bessel 函数的第m 个零点）本征函数： )()()(ρρρax J k J R n m n nm n ==5、 B essel 函数的性质（整数阶）1）重要的公式：)()1()(x J x J n n n -=- 2）Bessel 函数的母函数：∑∞-∞=-=n n ntt x t x Je)()1(2利用t 的一些特殊值，证明一些等式。

3） n 阶Bessel 函数的递推公式（不要求记忆）)()]([)()]([11x J x x J x dxd x J x x J x dxd n n n nn n n n+----==应用 a)递推公式展开时的一些特例；b)掌握公式在计算⎰dx x J x n m )(型积分时的应用。

4） B essel 函数的正交关系（了解）本征值a x k nm nm=和本征函数{}),2,1()( =m k J nmn ρ的意义， 本征函数{}),,,2,1()( n m k J nmn =ρ正交性 ⎰+=a lm n m n n l n n m n x J a d k J k J 021)(2)()(δρρρρ 5） 本征函数{}),2,1()( =m k J nmn ρ的广义 Fourier 展开（了解） ∑∞==1)()(m nm n m k J C f ρρ⎰+=anm n m n m d f k J x J a C 021)()()(21ρρρρ6、 熟练掌握柱坐标系中的定解问题的求解解题步骤和方法：（1）根据物理问题写出定解问题；（2）分离变量得到相应的方程；（3）本征值问题：确定本征值和本征函数；（4）确定关于其余变量方程的解；（5）定解问题的通解；（6）由定解条件确定待定系数（了解）。

1）稳态问题：具有圆柱形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，上、下底面具有轴对称边界条件的稳态问题的定解问题。

（1） 定解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===<=∇===)()(00),(2102ρρρρρf u f u u a z u h z z a（2） 分离变量 )()(),(z Z R z u ρρ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨=++0)()()(222222ρρρρρρρρR k d dR d R d dz m （3）本征值： a x k m m 00=本征函数：{}),2,1()(00 =m k J mρ （4） 关于)(z Z 方程的解)()()(000z k sh B z k ch A e D e C z Z m m m m z k m z k m m m m +=+=-（5）方程的通解： )()]()([),(00100ρρm m m m m m k J z k sh B z k ch A z u ∑∞=+=2）波动问题或热传导问题：具有圆柱（圆）形边界，侧面具有第一类齐次边界条件，具有轴对称初始条件的波动问题的定解问题。

a) 波动问题 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===<=∇-∂∂===)()(00),(),(002222ρφρϕρρρρt t t R u u u Rt u a t u t()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+0)()()(0)()(222222222ρρρρρρρρR k d dR d R d t T k a dt t T d m 本征值： R x k mm=本征函数：{}),2,1()(00 =m k J mρ)sin()cos()(00t ak B t ak A t T m m m m m +=)()]sin()cos([),(00100ρρm m m m m m k J t ak B t ak A t u ∑∞=+=b) 热传导问题 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==<=∇-∂∂==)(00),(),(02ρϕρρρρt R u u Rt u D tt u⎪⎪⎩⎪⎪⎨=++0)()()(22222ρρρρρρρρR k d dR d R d dtm本征值： R x k mm=本征函数：{}),2,1()(00 =m k J mρt k D m m m e A t T 20)()(-=)(),(001)(20ρρm m t k D m k J e A t u m ∑∞=-=本章重点：⏹ Bessel 函数的性质及其应用⏹ 圆域Dirichlet 问题的通解与特解 ⏹ 柱坐标系中的定解问题的求解。