计算机控制系统
第五章 线性系统的状态变量分析
5.2 用状态方程描述线性定常连续系统
5.2.1 由高阶微分方程化为状态方程
y(n) a1 y(n1) an1 y an b0u(m) b1u(m1) bm1u bmu
(m＜n)
其中y为输出函数，u为输入函数。列写状态方程就是 把上式的高阶微分方程化为与确定的状态变量相应的 一阶微分方程组，然后用矩阵表示。
i(t)
u(t)
系统。
（1）微分方程
L
di dt
Ri
1 C
idt
e
1 C
idt
u
u R u 1 u 1 e L LC LC
（2）传递函数
U (s) E(s)
LCs 2
1 RCs
1
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（3）状态空间表示。定义状态变量
定义输入和输出变量
x1 u x2 u
ue
y u x1
则可得状态方程
输出方程
x1
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1
LC
u
y 1
0
x1 x2
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写成标准形式 式中
X AX BU Y CX DU
0 1
A
1 LC
R L
,
0 B 1 ,
X (t) [x1(t), x2 (t), , xn (t)]T
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第五章 线性系统的状态变量分析
3 状态空间 状态向量所有可能的集合 — 以状态向量各元素 x1,
x2 ,, xn 为坐标轴组成的n维正交空间称为状态
空间。
4 状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分 方程组，用向量矩阵表示的方程式称为状态方程。
（1）微分方程
m
d 2 y(t) dy2
c
dy(t) dt
ky(t)
f
(t)
（2）传递函数
Y (s)
1
G(s) F (s) ms 2 cs k
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（3）一阶微分方程组
dy v dt m dv f ky cv
dt
这是系统的状态方程，
当已知初始位移 y(t0 )、 速度 v(t0 ) 、和输入量 f (t) 时，系统的状态就 唯一确定了。
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定义状态变量
x1 y x2 v
则
x1 x2
x2
k m
x1
c m
x2
1 m
f
定义状态向量
X
x1
x2
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则得到状态方程
x1
x2
0
k m
1
c m
x1
x2
0 1 m
f
（5.1-1）
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2 输出方程
标准形式
Y CX DU
式中
Y — p×1维输出向量；
C — p×n维系数矩阵（输出矩阵；
D — p×m维系数矩阵（直传矩阵）。
注意 在状态方程中不能含有X高于一阶的导数项 和U的任何阶的导数项；在输出方程中不含有任 何导数项。
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● 现代控制理论与经典控制理论的区别
前者适用与多输入-多输出系统，可以是线性的或 非线性的，也可以是定常的或时变的；后者仅适用 于线性、定常、单输入-单输出系统。
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5.1 状态变量分析的基本概念
【引例】
1. 右图所示质量-阻尼-弹簧系统，有三种描述方法。
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5.1.3 状态方程与输出方程的标准形式
1 状态方程 标准形式
式中
dX AX BU 或 X AX BU
dt
X为n×1维状态向量； U 为m×1维输入向量；
A为n×n维系数矩阵（状态矩阵）；
B 为n×m维系数矩阵（输入矩阵）。
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第 5 章 线性系统的状态变量分析
本章主要教学内容
1. 状态变量分析的基本概念 2. 用状态方程描述线性定常连续系统 3. 线性离散系统的离散状态空间表达式 4. 线性定常连续系统的状态方程分析 5. 用线性离散状态方程分析系统 6. 线性连续系统的离散化
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（1）定常系统 — A和B中的各元素都是不随时间变 化的常数；
（2）时变系统 — 有一些元素是时间的函数，即
A A(t), B B(t);
（3）非线性系统 — 其状态方程不可能写成上述标准 形式，只能一般地表示为
dX F(X ,U ,t) dt
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第五章 线性系统的状态变量分析
研究对象、数学工具与理论
研究对象
单输入单输出 系统
连续 离散
多输入多输出 系统
连续 离散
数学工具 时域
频域
理论
微分方程
传递函数法 (Laplace变换) 经典控制理论
差分方程
Z传递函数法 计算机控制理
(Z变换)
论
一阶微分方程组 (状态空间法)
传递矩阵法 现代控制理论
一阶差分方程组 (离散状态空间法) Z传递矩阵法
计算机控制理 论
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● 现代控制理论 由于复杂的任务和高精度的要求，工程系统正朝
着更加复杂的方向发展。复杂系统可能具有多输入
量和多输出量，并且可能是时变的。从1960年开始 发展起来的现代控制理论，就是对复杂系统进行分 析和设计的新方法，它建立在“状态”概念之上。
输出方程
y 1
0
x1 x2
写成标准形式
X AX BU
式中
Y CX DU
0 1
0
A
k m
c m
,
B 1 , m
C 1 0,
（5.2-2） D0
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2. 由一个电阻R（欧姆）、
电感L（亨利）和一个电
容C（法拉）组成的电路 e(t)
LC
C 1 0,
D0
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第五章 线性系统的状态变量分析
5.1.2 状态变量、状态向量、状态空间、状态方程 1 状态变量
动力学系统的状态是指能完整地、准确地描述系统
的时域行为的最小一组变量：x1(t), x2 (t),..., xn (t).
2. 状态向量 以状态变量 x1(t), x2 (t),..., xn (t) 为元组成的列向量 X (t) 称为状态向量.