2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．103．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<5． 执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2-B ．1-C ．1D ．2 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是B C A． B． C． D．9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

现有下列命题：①()()f x f x -=-；②22()2()1xf f x x =+；③|()|2||f x x ≥。

其中的所有正确命题的序号是A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②10．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是A ．2B ．3 CD第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。

作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．复数221ii-=+ 。

12．设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。

13．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m 。

（用四舍五入法将结果精确到个位。

参考数据：sin 670.92≈，cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈1.73≈）14．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 。

15．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -。

例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈。

现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈，a D ∃∈，()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值； ③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数2()ln(2)1xf x a x x =+++（2x >-，a R ∈）有最大值，则()f x B ∈。

其中的真命题有 。

（写出所有真命题的序号）三．解答题：本大题共6小题，共 75分。

解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分) 已知函数()sin(3)4f x x π=+.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值.17．(本小题满分12分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得200-分）。

设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。

请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.18．(本小题满分12分)三棱锥A BCD -及其侧视图、俯视图如图所示。

设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN NP ⊥.（1）证明：P 为线段BC 的中点； （2）求二面角A NP M --的余弦值.19．(本小题满分12分)C A BD M NP设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈）. （1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}nna b 的前n 项和n T .20．(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标.21．(本小题满分14分)已知函数2()1xf x e ax bx =---，其中,a b R ∈， 2.71828e =为自然对数的底数. （1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值； （2）若(1)0f =，函数()f x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2.【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅= 3.【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到 4.【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a bd c->->，所以a bd c< 5.【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2.6.【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种, 共有55A +14C 44A 924216=⨯=种 7.【答案】D【解析1】(4,22)c m m =++ 因为cos ,||||c a c a c a ⋅=⋅，cos ,||||c b c b c b ⋅=⋅，所以||||||||c a c b c a c b ⋅⋅=⋅⋅，又||2||b a =所以2c a c b ⋅=⋅即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2m ⇒= 【解析2】由几何意义知c 为以ma ，b 为邻边的菱形的对角线向量，又||2||b a =故2m =8.【答案】B【解析】直线OP 与平面1A BD 所成的角为α的取值范围111[,][,]22AOA C OA ππ∠⋃∠，由于1sin AOA ∠=11sin 2C OA ∠==>，sin 12π=所以sin α的取值范围是 9.【答案】A【解析】()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-故①正确1()ln(1)ln(1)ln1xf x x x x+=+--=-⇒2222212111()lnln()2ln 2()211111xx x x x f f x x x x x x ++++====+---+ 当[0,1)x ∈时，|()|2||()20f x x f x x ≥⇔-≥令()()2ln(1)ln(1)2g x f x x x x x =-=+---（[0,1)x ∈）因为22112()20111x g x x x x'=+-=>+--，所以()g x 在[0,1)单增，()()2(0)0g x f x x g =-≥=即()2f x x ≥，又()f x 与2y x =为奇函数，所以|()|2||f x x ≥成立故③正确10.【答案】B【解析】设直线AB 的方程为：x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又1(,0)4F ，直线AB 与x 轴的交点(0,)M m （不妨假设10y >）由220x ty my ty m y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，所以12y y m =-又21212121222()20OA OB x x y y y y y y ⋅=⇒+=⇒+-=因为点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，所以122y y =-，故2m =于是12111111922()32248ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯⨯=+≥= 当且仅当11192483y y y =⇔=时取“=” ，所以ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。