c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的
资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
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3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
dx / dt x d ln x
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
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三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
每单位有效劳动 的实际投资
MPAL

F(K, AL) AL

f
(k) kf
(k)
劳动的边际产出
MPL

F(K, AL) L

A[
f
(k)

kf
(k )]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
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图形表示
f(k) f(k)
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
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2、关于生产函数的假设
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
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以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构：
家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。
企业雇佣投入品进行生产。
家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳动L，以及知识 或劳动的有效性A。 生产函数：
lim
K 0
FK

lim
L0
FL

lim
K
FK

lim
L
FL
0
满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因
此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
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模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F(K, AL) AL F(K / AL,1) AL f (K / AL)
gx
x
x dt
劳动增长率为n： L(t) n t时劳动力： L(t)
L(t) L(0)ent
技术进步率为g： A (t) g t时技术存量： A(t )
A(t) A(0)egt
产出在消费和投资之间分割，那么储蓄 等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本
K (t) sY (t) K (t)
于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)：
y=f(k)
其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
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假设的含义
稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际
产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。
其作用在于确保经济的路径不发散。即
lim f (k)
k 0
根据假设1得到：
lim f (k) 0
k
f (0) 0 f (k ) 0 f (k ) 0
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边际产出
资本的边际产出
MPK

F(K, AL) K

ALf (K / K
AL)

f
(k )
有效劳动的边际产出
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），
k*
索洛－斯旺模型
c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)(n+g+δ）k*
k
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2、稳态
稳态均衡图示
因为
பைடு நூலகம்
d[sf (k) / k] s d[ f (k) / k]
dk
dk
s
f (k) kf '(k) k2
s
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一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。
——亚当.斯密
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问题提出
什么因素决定了经济增长？ 经济增长的一般趋势是什么？ 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 穷国能否赶上富国？
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2、稳态
单位有效劳动资 本存量的变化：
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
f(k)
k 0
(n＋g+δ)k f(k) sf(k)
A
在A点，实际投资与有 效折旧相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的k*, y*, c*固定不变。消费为：
有效折旧：为保持 k在现有水平所必 须进行的投资。
k(t) 0 k(t) 0 k(t) 0
k增加 k下降 k不变
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2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的

状况，即 k(t) 0 平衡增长（balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态 的路径也是平衡增长的路径。
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一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨大 增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而无 法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在（如 资本产生正的外部性）。