罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义
第1章索洛增长模型
第一部分重难点解读
“一旦人们开始思考（经济增长）问题，他将很难再顾及其他问题。
”
——罗伯特·卢卡斯（Robert Lucas，1988）
1.1模型假设
投入与产出
生产函数采取如下形式：
()()()()()
,Y t F K t A t L t =其中，t ：时间，A ：有效劳动．．．．——劳动增加型．．．．．的或哈罗德中性．．．．．。
生产函数
生产函数是规模报酬不变的：
()(),,F cK cAL cF K AL =，对于所有0
c ≥规模不变结合两个不同的假设：第一是经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部利用。
第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。
把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数：
()1,1,⎛⎫= ⎪⎝⎭K F F K AL AL AL
定义/=k K AL ，/=y Y AL 以及()(),1=f k F k ，得：
()
=y f k 关于()f k 的假设：
（1）()00=f ，()0'>f k ，()0''<f k （如何推导？比较重要！）
（2）稻田条件（Inada condition）：()0lim →'=∞k f k ，()lim 0→∞
'=k f k 柯布一道格拉斯函数：()()
1,,01ααα-=<<F K AL K AL 。
根据规模报酬不变假设，整理
可得：()α=f k k ，图示如图1.1所示。
图1.1柯布-道格拉斯生产函数
生产投入的演化
给定资本、劳动与知识的初始水平，劳动与知识以不变的增长率增长：
()()
∙
=L t nL t ()()∙=A t gA t 其中，n 与g 是外生参数。
求解以上两微分方程，可得：
()()0=nt
L t L e
()()0=gt
A t A e 假设：用于投资的产出份额s 是外生且不变的，则有资本动态积累方程：
()()()δ∙
=-K t sY t K t 其中，δ为资本折旧率。
1.2模型动态学
k 的动态学
由于/=k K AL ，利用链式法则：
()()()()()
()()()()()()••••2⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎣⎦
K t K t k t A t L t L t A t A t L t A t L t ()
()()()()()()()()()()()()
∙∙∙=--K t K t L t K t A t A t L t A t L t L t A t L t A t 结合如上关于技术进步率与人口增长率的假设，可得：
()()()
()()
()()δ∙-=--sY t K t k t k t n k t g A t L t ()()()()()()
δ=---Y t s k t nk t gk t A t L t 由规模报酬不变假设有：
()()()()()δ∙
=-++k t sf k t n g k t 第一项()()sf k t 为每单位有效劳动的实际投资：每单位有效劳动的产出为()f k ，该产出的投资份额为s ；第二项()δ++n g k 为持平投资．．．．——为使k 保持在现有水平上．．．．．
所必须进行的投资量。
当每单位有效劳动的实际投资大于持平所需的投资时，k 上升；当实际投资小于持平所需的投资时，k 下降；当二者相等时，k 不变，如图1.2所示。
图1.2实际投资与持平投资
一个重要问题：试证明图1.2中实际投资曲线与持平投资曲线只相交一次。
资本k 与其增长率的图示可表示如下：
图1.3索洛模型中k 的相图
平衡增长路径
平衡增长路径下，劳动与知识分别以速率n 与g 增加。
资本存量K 等于ALk ；由于k 在*k 处不变，K 在以速率g n +增长（且/K K ∙
等于g n +）。
在资本与有效劳动以速率g n +增长的条件下，规模不变的假设意味着产出Y 正在以该速率增长。
最后，每工人的平均资本L K 以及每工人的平均产出L Y 在以速率g 增长。
在平衡增长路径上，每个工人的平均产
出增长率只由技术进步率唯一地决定。
1.3储蓄率变动的影响
假设一索洛经济体处于平衡增长路径，s永久性增加
对产出的影响
s的增加使实际投资线向上移动，因而 k上升，如图1.4所示。
图1.4用于投资的储蓄率增加的效应图1.4分析的是比较静态，转移动态如图1.5所示：
图1.5储蓄率增长的效应
通过如上分析：储蓄率的变化具有水平效应．．．．，但不具有增长效应．．．．
：它改变了经济的平衡增长路径，但这并不影响平衡路径上每个工人的平均产出增长率。
对消费的影响
设*
c 表示均衡增长路径上单位有效劳动的消费，等于单位有效劳动的产出减去单位有效劳动的投资()sf k *。
在平衡增长路径上，实际投资等于持平投资()δ*++n g k ，因而：
()()δ***
=-++c f k n g k 平衡路径上的资本*
k 由s 以及模型的其他参数靠n 、g 与δ决定，即(),,,δ**=k k s n g 。
对消费关于储蓄率求导：
()()()(),,,,,,δδδ**
*∂∂⎡⎤'=-++⎣⎦∂∂k s n g c f k s n g n g s s
s 的增加是否在长期内会提高或降低消费取决于资本的边际产品()*'f k 是否大于或小。