.
解析：yOz 平面上的点 x 坐标为 0.
答案：(0, 2, 3)
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2.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,AA1=AB=AC=2,∠BAC=90°,M是CC1的中点,Q是BC的中点.试建 立适当的坐标系,写出B,C,C1,M,Q五点的坐标.
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2.3 空间直角坐标系
2.3.1 空间直角坐标系
学习目标
1.学会右手直角坐标系,了解简单 的平面方程. 2.会建立空间直角坐标系并能画 出或求出某一点的坐标.
重点难点
重点:会建立空间直角坐标系 并求出点的坐标. 难点:了解简单的平面方程.
1.空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念.
①空间直角坐标系:从空间某一个定点O引三条互相垂直,且有相
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二、求空间点的坐标
点在,G棱在长棱为CD1上的,正且方CG体=A14BCCDD,-HA1为B1CC11GD的1中中,E点,F,试分建别立是适D1当D,的BD坐的标中系, 写出点E,F,G,H的坐标.(导学号51800096)
思路分析：要求点的坐标,需求得x,y,z竖坐标的值,即确定出所求 点的坐标.
同单位长度的数轴:x轴、y轴、z轴,这样就建立了空间直角坐标系 O-xyz.
②相关概念:点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过
每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、 zOx平面.
(2)右手直角坐标系. 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴 的正方向,若中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐 标系. 交流1 画空间直角坐标系时应注意哪些问题? 答案：(1)x轴与y轴成135°角,x轴与z轴成135°角; (2)y轴垂直于z轴,y轴和z轴的单位长度应相等,x轴上的单位长度 则等于y轴(或z轴)的一半(xOy平面适用于斜二测画法); (3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直.
(方法二)以O为顶点构造长方体,使这个长方体在点O处的三条棱 分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上,且棱长分别为4,2,5. 则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点M.
(方法三)在x轴上找到x坐标为4的点,过此点作与x轴垂直的平面α; 在y轴上找到y坐标为-2的点,过此点作与y轴垂直的平面β;在z轴上 找到z坐标为5的点,过此点作与z轴垂直的平面γ,则α,β,γ交于一点,此 交点即为所求的点M.
交流3
(1)点A(0,2,0)位于
轴上;
(2)在空间直角坐标系中,点A(2,0,-1)位于
内;
(3)在空间直角坐标系中标出下列各点:
A(0,0,3),B(0,2,4),C(2,2,3),D(1,3,-4).
答案：(1)y (2)xOz (3)略
坐标平面
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一、已知点的坐标确定点的位置
2.空间一点的坐标 对于空间任意一点A,作点A在三条坐标轴上的射影,即经过点A作 三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴分别交 于P,Q,R.点P,Q,R在相应数轴上的坐标依次为x,y,z,我们把有序实数 组(x,y,z)叫做点A的坐标,记为 A(x,y,z). 交流2 在给定的空间直角坐标系下,空间中某一点是否有惟一的实数组 (x,y,z)与之对应? 答案：是.在给定的空间直角坐标系下,空间中任意一点都有惟 一确定的实数组(x,y,z)与之对应;反过来,给定实数组(x,y,z),在空间 中也有惟一的点和它对应.
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解：建立如图所示的空间直角坐标系.点E在z轴上,它的x坐标、y
坐标均为0,而E为DD1的中点,
故其坐标为
0,0,
1 2
.
由 F 作 FM⊥AD,FN⊥DC,
由平面几何知识知 FM=12,FN=12,
故 F 点坐标为
1 2
,
1 2
,0
.
点 G 在 y 轴上,其 x,z 坐标均为 0,
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1.点P(-1,0,4)的位置在
解析：∵P点的纵坐标为0, ∴P点在xOz平面内.
答案：xOz
平面内.
2.在空间直角坐标系中作出点P(-3,2,4). 解：在平面xOy内作出点P'(-3,2,0),过点P'在z轴正方向一侧作平 面xOy的垂线,使P'P=4,则P(-3,2,4)即为所求的点P的位置.
在空间直角坐标系中,作出点M(4,-2,5). (导学号51800095) 思路分析：解答本题可有三种思路:
①利用平移点的方法,将原点按坐标轴的方向平移三次得点M; ②构造适合条件的长方体,使三条棱长分别为4,2,5,通过和原点
相对的顶点确定M的位置;
③通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定点M.
解：建立如图所示坐标系, 由已知得B(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2).
∵M是C1C的中点, ∴M点坐标为(0,2,1).
又Q是BC的中点,
又 GD=34,
故 G 点坐标为
0,
3 4
,0
.
由 H 作 HK⊥CG 于 K,由于 H 为 C1G 的中点,
故 HK=12,CK=18.
Hale Waihona Puke ∴DK=78.故 H 点坐标为
0,
7 8
,
1 2
.
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1.在空间直角坐标系中,点P的坐标为(1, 2, 3 ),过点P作yOz平面
的垂线PQ,则垂足Q的坐标是
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在空间直角坐标系中作出点A(x,y,z)可分三步: (1)从原点出发沿x轴正方向(x>0)或负方向(x<0)平移|x|个单位得 点A1; (2)再将A1点沿y轴正方向(y>0)或负方向(y<0)平移|y|个单位得点 A2; (3)再将A2沿z轴正方向(z>0)或负方向(z<0)平移|z|个单位,即可得 到点A(x,y,z)的坐标.
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解：(方法一)将原点沿x轴正方向平移4个单位得点M1(4,0,0),再 把M1沿与y轴平行的直线且与y轴正方向相反的方向平移2个单位, 得到点M2(4,-2,0),最后把M2沿与z轴平行的直线且与z轴正方向相同 的方向平移5个单位即得点M.
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