注:如果熟练了可简化成序轴标根法,直接快速写出解集
解一元二次不等式或分式不等式的方 法步骤是：
方法2 序轴标根法
步骤：（1）化成因式相乘或相除的形式， 且每个因式中x的最高次数为1，系数 必须是正数
（2）求出对应方程的根并在序轴上表 示出来，用穿针引线标出各部分正负
（3）根据序轴写出解集
作业:
1.解不等式 (1)4x2-4x+1>0
一元二次不等式的解法(1)
复习提问：
（1）如何解一元二次方程?
ax2+bx+c=0(a0)
（2）二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象是 什么曲线？
（3）一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)
的解与二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象 有什么联系？
一元二次方程a2xb xc0(a0)的解实
5 x
{x│ x ≤－3 或x ≥5}。
设y=ax2+bx+c (a＞0),且设方程y=0在 △＞0时的两个根分别是x1、x2，且x1＜ x2。
下面我们一起来看下表：
△＝b2－4ac
△＞0
△＝0
△＜0
二次函数
y
y
y
y ax2 bx c
(a 0 )的 图 像
x O x1 x2
O
xO
x＝－b／2a
(3)2x2-3x-2>0
(2)-x2+2x-3>0 (4)-5x2+6x>1
2. 试解下列不等式: ⑴ x 1 3x 2 ⑵ (x 3)(x 2)(x 1) 0
⑶ (3x 2)(3 x) ≤ 0 x2
二、二次不等式的简单应用
例3： 解不等式 x2－2│xx│－－151≥50≥0
分析1：不同于x2－2x－15≥0的根本点在于不 等式中含│x│，由于│x│ 2 = x2 ，则可以通过换 元令│x│ =t，将不等式转化为t 2－2 t －15≥0求解。
解不等式: 3x2 7x 10 ≤0
(可用同解变形法)
解:∵ 3x2 7x 10 ≤0 (3x 10)(x 1) ≤ 0
3x 10 x 1
≤0 ≥0
(Ⅰ)
或
3x 10≥0 x 1 ≤0
(Ⅱ)
由(Ⅰ)解得
1≤
x
≤
10 3
;由(Ⅱ)解得
x
不存在.
∴原不等式的解集为
x
1≤
x
其实质是符号规律,见下表:
解法2：当x＞0时， 原不等式可化为x2 －2x－15≥0
则不等式的解为x≥5或 x≤－3 ∵x＞0 ∴ 不等式的解集为{x│x≥5 }
当x ≤0时， 原不等式可化为x2 ＋2x－15≥0 则不等式的解为x≥3或x ≤－5 ∵x≤0 ∴ 不等式的解集为{x│x≤－5 } 由以上可知原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。
x
y＞0的解集
xxx2或 xx1
xR x
b 2a
R
y＜0的解集 xx1xx2
y ≥0的解 集
xxx2或 xx1
R
R
y ≤0的解-4x+1>0
解： ∵ △=0，方程4x2-4x+1=0的
解是x1= x2=1/2
∴不等式的解是 x≠1/2
1/2
X
练习2.解不等式-x2+2x-3>0
∴a = －12 b = －2
∴不等式2x2 + bx + a＜0
即2x2 －2x －12 ＜0其解集为{x | －2＜x＜3}。
4a－2b+6＝0
9a＋3b+6＝0 a＝－1
解方程组得： b＝1
则a－b＝－2
练习:已知不等式ax2 + bx + 2＞0
的解为 1 x 1 求2x2 + bx + a<0的解. 23
由题1意 ,1是方a程 2xbx20的两 , 根 23
则a0
1 2 1 2
1 3 1 3
b a
b a
∵ 6 /a ＝ －2× 3＝ －6 ∴ a＝－1 ∵ b /a ＝ －2＋3＝1 ∴ b＝1 则a－b＝－2
例4 . 已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集为{x │－ 2 ＜x＜3}, 求a－b的值.
另解：由条件可知 ： 方程 a x2 ＋bx+6＝0的根－2、3 ，
代入方程可得：
≤ 10 3
.
代数式
x 1 3x 10 (3x 10)(x 1)
x 1
1 x 10 3
x 10 3
零点分段 判断符号 情况
例 2，解分式不等式: x 3 0 x7
解:分析符号规律:零点 3,-7 把数轴分成三段
代数式 x 7 7 x 3 x 3
x7
x3
x3
x7
∴由上面分析可知原不等式的解集为 x x 7 或 x 3
解：整理得x2-2x+3<0
X
∵ △<0，方程x2-2x+3=0 无实解，
∴原不等式无实解。
练习3.解不等式2x2-3x-2>0
解：∵ △>0，方程2x2-3x-2=0的
解是 x1=-1/2 , x2=2
∴不等式的解集是
-1/2
{x|x<-1/2,或x>2}
2X
练习4.解不等式-5x2+6x>1
解：整理得，5x2-6x+1<0
1/5
1 X ∵ △>0，方程5x2-6x+1=0
的解是x1=1/5 , x2=1
∴原不等式的解集是{x|1/5<x<1}
解一元二次不等式的方法步骤是： 方法1：数形结合 步骤：（1）化成标准形式 (a>0)：
ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0
（2）求 ，解方程，画图象；
（3）根据图象写出解集
际上就是二次函数 ya2xb xc(a0)
与x轴交点的横坐标。
下面我们来研究如何应用二次函数的图象 来解一元二次不等式。
例1：解不等式: x2－2x－15≥0
解：∵ ⊿=b2-4ac= 22 +4× 15 > 0
方程x2－2x－15＝0
y
的两根为:
x＝－3，或x＝5
。。
∴ 不等式的解集为:
-3 0
例4 . 已知一元二次不等式a x2 ＋bx+6>0 的解集为{x │－ 2 ＜x＜3}, 求a－b的值.
分析:二次不等式的解是通过二次方程的 根来确定的，由此可以理解为 a x2 ＋bx+6＝0 的根为－2，3。
解：由条件可知 ： 方程a x2 ＋bx+6＝0的根－2，3 又解在两根之间; ∴a＜0
解法1：(换元法） 设│x│ =t,则t ≥ 0原不等式可化为
t2 －2t－15≥0 由例1 可知解为t≥5或t≤－3 ∵t ≥ 0 ∴ 不等式的解集为{t│t≥5 }
∴ │x│≥5 ∴原不等式的解为{x│x≥5或x≤－5 }。
例3：解不等式: x2－2│x│－15≥0
分析2：也可用绝对值定义去掉绝对值 将不等式转化为不含绝对值的求解。