∧ Nf 1 N ( j) ( j) ( j) ) p f = ∑ I g ( x1 来估计参数θ真值的统计量 , ( , , X 2 = 称为估计量 估计量。 来估计参数 真值的统计量 θ x2X 1 ⋅⋅⋅, xn⋅⋅⋅),X n 称为估计量。 (3-54) N j =1 N ∧
∧
X1 1 X2 2 Xn n
Z = g X ( X 1 , X 2 , ⋅⋅⋅ X n , )
结构失效概率由下式计算
Pf = ∫
=∫
g X ( x )<0
∫
⋅⋅⋅∫ f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) ⋅⋅⋅, f X n ( xn )d x1 d x2 ⋅⋅⋅ d xn
⋅⋅⋅ ∫
+∞ −∞
µ
∧
pf
1 = E pf = N
∧
( ( g ( x1( j ) , x2 j ) , ⋅⋅⋅, xn j ) ) ∑E I j =1
N
{
}
所以， 的无偏估计。 所以， f 是 p f 的无偏估计。 p 由式（ 由式（3-54）估计的失效概率的方差为 ）
σ
2
∧
∧
1 = × N × E I g X ( x1 , x2 , ⋅⋅⋅, xn ) N
3.4.1 一般抽样方法
一般抽样方法是结构可靠度蒙特卡洛模拟最基本的 方法，重要抽样方法是以一般抽样法为基础的。 方法，重要抽样方法是以一般抽样法为基础的。 作为结构可靠度分析的基本问题， 作为结构可靠度分析的基本问题，设 X 1 , X 2, ⋅⋅⋅, X n 为n 个随机变量， 个随机变量，其概率密度函数分别为 f ( x )，f ( x ) ⋅⋅⋅, f ( x ) 由这n个随机变量表示的结构功能函数为 个随机变量表示的结构功能函数为： ，由这 个随机变量表示的结构功能函数为：
(3-43)
为确定验算点， 的线性组合形式， 为确定验算点，将 σ z 展开为 aiσ X i 的线性组合形式， 所以 σ = −∑ α a σ (3-44) α 式中， 为灵敏系数，表示为： 式中， X 为灵敏系数，表示为：
n z i =1 Xi i Xi
i
∑ρ
aXi = −
j =1 n
n
Xi X j
n n
n
ρ X ′X ′ σ X ′σ X ′
j i
(3-50)
j
∑ ρ X ′X ′
α X ′ = cos θ X ′ = −
i i
j =1
i
j
∂g ∂X j
P*
σ X′
P*
j
∑∑ ρ X ′X ′
i =1 j =1
i
n
n
j
∂g ∂g ∂X i ∂X j
σ X ′σ X ′
i
(3-51) (3-52)
X 1 2 n
∂g Z L = g ( x , x , ⋅⋅⋅ x ) + ∑ i =1 ∂X i
n * 1 * 1 * n
( X i′ − xi* ) P*
(3-49)
式中， 式中， 取 ai =
∂g ∂X i
P*
表示g（ ） 的偏导数在验算点处的值。 表示 （.） 的偏导数在验算点处的值。 (3-50)
Z = a0 + ∑ ai X i
i= i =1
n
(3-40)
a 式中， 为常数。 式中， 1 , a2, ⋅⋅⋅, an 为常数。
由于Z为状态随机变量的线性函数，所以 也服从正态分布 也服从正态分布， 由于 为状态随机变量的线性函数，所以Z也服从正态分布， 为状态随机变量的线性函数 平均值和标准差为： 平均值和标准差为：
失效概率的变异性小，模拟的准确性较高， 失效概率的变异性小，模拟的准确性较高，模拟结 果的可信度较大。相反，当变异系数较大时， 果的可信度较大。相反，当变异系数较大时，说明 失效概率的变异性较大，模拟的准确性不高， 失效概率的变异性较大，模拟的准确性不高，模拟 结果的可信度不大。 结果的可信度不大。为了提高蒙特卡洛方法估算的 精度，一种方法是增加模拟的次数，称为一般抽样 精度，一种方法是增加模拟的次数， 法；另一种方法是采用一定的方法降低失效概率的 变异系数，称为重要抽样方法。 变异系数，称为重要抽样方法。重要抽样方法有多 如一般重要抽样法、更新重要抽样法、 种，如一般重要抽样法、更新重要抽样法、渐近重 要抽样方法、方向重要抽样方法等。 要抽样方法、方向重要抽样方法等。 本节只介绍常用的一般抽样方法和 本节只介绍常用的一般抽样方法和一般重要抽样方 一般抽样方法 法。
µ z = a0 + ∑ ai µ xi
i =1
n
(3-41)
σz =
∑∑ ρ
i =1 j =1
n
n
Xi X j
ai a jσ X i σ X j
(3-42)
可靠指标为： 可靠指标为：
β= µz = σz
a0 + ∑ ai µ xi
i =1 n
∑∑ ρ X
i =1 j =1
n
n
a a jσ X i σ X j iXj i
+∞
−∞
∫
+∞
−∞
I [ g X ( x1 , x2 ⋅⋅⋅, xn ) ] f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) ⋅⋅⋅, f X n ( xn )d x1 d x2 ⋅⋅⋅ d xn
= E { I [ g X ( X 1 , X 2 ⋅⋅⋅, X n ) ]
}
(3-53)
表示示性函数，如图所示。 其中 I [ g X (x1 , x 2 , ⋅⋅⋅x n , )] 表示示性函数，如图所示。式 3-53）表示结构失效概率为示性函数的期望值。 （3-53）表示结构失效概率为示性函数的期望值。 对随机变量 X 1 , X 2, ⋅⋅⋅, X n 进行抽样产生一个样本向量
j
验算点坐标为
xi* = µ X i′ + βα X i′σ X i′
附表B指出，对于单峰的随机变量， 附表 指出，对于单峰的随机变量，当量正态化后的 指出 相关系数ρ X ′X ′ 可近似取为当量正态化前的相关系数 ρ X X 。
i j
i j
迭代计算变量相关时的可靠指标的计算步骤与变量不 相关时的情况相同。 相关时的情况相同。
a jσ X j ai a jσ X i σ X j
∑∑ ρ
i =1 j =1
n
(3-45)
Xi X j
上式定义的灵敏系数反应了Z与 之间的线性相关性。 上式定义的灵敏系数反应了 与 X i 之间的线性相关性。 结合上面各式， 结合上面各式，有
a0 + ∑ ai X i = µ Z − βσ Z = 0
3.3.2 一般情况
假定功能函数 Z = g ( X , X , ⋅⋅⋅ X , ) 表示的非线性功能函数 不服从正态分布。 中，随机变量 X 1 , X 2, ⋅⋅⋅, X n 不服从正态分布。将非正态分 布随机变量 X i 在验算点处当量正态化为正态随机变量X i′ 将非线性功能函数展开并保留至一次项： 。将非线性功能函数展开并保留至一次项：
∂g ∂X i
P
(i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n) ，参照式（3-43）和式（3-45）得 参照式（ ）和式（ ）
β=
* * * g ( x1 , x1 , ⋅⋅⋅xn ) + ∑ i =1
n
∂g ∂X i
P*
i
P
*
( µi′ − xi* )
∂g ∂g ∑∑ ∂X ∂X i =1 j =1 i j
具体的迭代步骤如下： 具体的迭代步骤如下： 1）假定初始验算点，一般可取验算点为函数均值。 假定初始验算点，一般可取验算点为函数均值。 2）由式（3-50）计算β 由式（ 50）计算β 3）由式（3-51）计算 cos θ X ′ 由式（ 51）
i
x1*( n ) 由式（ 52） 4）由式（3-52）计算新的验算点
(1) (1) ( ( ( ( （ x1(1) , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ x n ), ( x1( 2 ) , x 2 2 ) , ⋅ ⋅ ⋅ x n 2 ) ), ⋅ ⋅ ⋅( x1( n ) , x 2 n ) , ⋅ ⋅ ⋅ x n n ) )
根据式（ 根据式（3-53）结构失效概率的估计值为 ） 根据总体X的一个样本 根据总体 的一个样本 x1 , x 2 , ⋅⋅⋅x n 构造的用其观察值
称为估计值。 θ ( x1 , x2 ⋅⋅⋅, xn ) 称为估计值。 估计值
其中： 其中：
( ( N f = ∑ I g ( x1( j ) , x2 j ) , ⋅⋅⋅, xn j ) ) j =1
N
(3-55)
表示N次模拟中结构失效的次数。 表示 次模拟中结构失效的次数。 次模拟中结构失效的次数 由式（ 由式（3-54）可以看出，用蒙特卡洛方法模拟分析结构 ）可以看出， 的失效概率时， 的失效概率时，不需要具体考虑极限状态曲面形状和 复杂性， 复杂性，只需要根据随即抽取的样本计算功能函数的 并判断该值是大于0还是小于 还是小于0.当随机点落入可靠 值，并判断该值是大于 还是小于 当随机点落入可靠 示性函数的值取为0， 域即 g X ( x1 , x2 ⋅⋅⋅, xn ) > 0 时，示性函数的值取为 ，当随 机点落入可靠域即 g X ( x1 , x2 ⋅⋅⋅, xn ) < 0 时，示性函数的值 取为1。 取为 。 由式（ 由式（3-54）估计的失效概率的平均值为： ）估计的失效概率的平均值为：
（ n） * * − x （ 0） < ε ，ε为规定的允许误差，则停 为规定的允许误差， 5 ）若 x
止迭代所求β即为要求的可靠指标； 止迭代所求β即为要求的可靠指标；否则继续迭 代，取新计算的验算点。 取新计算的验算点。