学案37 合情推理与演绎推理导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．自主梳理自我检测1．(2010·)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于( )A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)2．(2010·质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．33．(2009·)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．(2010·)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．5．(2011·月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________．探究点一归纳推理例1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．变式迁移1 观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．探究点二 类比推理例2 (2011·月考)在平面，可以用面积法证明下面的结论：从三角形部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．变式迁移2 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝a2＋b2，将此结论类比到空间有_______________________________________________．2探究点三演绎推理例3在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足．求证：AB的中点M到D、E的距离相等．变式迁移3 指出对结论“已知2和3是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证明是否为“三段论”，证明有错误吗？证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想.一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．3．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·华侨中学模拟)定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是( )A ．B *D ，A *D B ．B *D ，A *C C ．B *C ，A *DD ．C *D ，A *D 2．(2011·模拟)设f (x )＝1＋x1－x，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2 010(x )等于( )A ．－1xB ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a|·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2009·)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 3785．已知整数的数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7) 二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知正三角形切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________________________________________________．7．(2011·高级中学模拟)定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：8．(2011·)观察下列等式1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n 个等式为_____________________________________________________． 三、解答题(共38分)9．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n ＋1＋2＝0(n ≥2)．计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．10．(12分)(2011·调研)已知函数f (x )＝－aa x＋a(a >0且a ≠1)，(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．11．(14分)如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则＝OM1OM2·ON1ON2；如图2，若不在同一平面的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．学案37 合情推理与演绎推理自主梳理归纳推理全部对象部分个别类比推理这些特征特殊到特殊①一般原理②特殊情况③特殊情况一般特殊自我检测1．D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]2．C [①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．]3．1∶8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.5．一切奇数都不能被2整除大前提2100＋1是奇数小前提所以2100＋1不能被2整除结论课堂活动区例1解题导引归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．解在{a n}中，a1＝1，a2＝2a12＋a1＝2 3，a3＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，…，所以猜想{a n}的通项公式为a n＝2n＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n，所以1a n＋1＝2＋a n2a n＝1a n＋12，即1a n＋1－1a n＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是以1a1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n＝1＋(n－1)×12＝12n＋12，所以通项公式a n＝2n＋1.变式迁移1 解猜想sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明如下：左边＝sin2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]＝sin2α＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α＝sin2α＋34cos2α－14sin2α＝34＝右边．例2解题导引类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．解类比：从四面体部任意一点向各面引垂线，其长度分别为p a，p b，p c，p d，且相应各面上的高分别为h a，h b，h c，h d.则有p ah a＋p bh b＋p ch c＋p dh d＝1.证明如下：p ah a＝13S△BCD·p a13S△BCD·h a＝V P—BCDV A—BCD，同理有p bh b＝V P—CDAV B—CDA，p ch c＝V P—BDAV C—BDA，p dh d＝V P—ABCV D—ABC，V P —BCD ＋V P —CDA ＋V P —BDA ＋V P —ABC ＝V A —BCD ， ∴p a h a ＋p b h b ＋p c h c ＋p d h d＝V P —BCD ＋V P —CDA ＋V P —BDA ＋V P —ABC V A —BCD＝1.变式迁移2 在三棱锥A —BCD 中，若AB 、AC 、AD 两两互相垂直，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD＝c ，则此三棱锥的外接球半径R ＝a 2＋b 2＋c 22例3 解题导引 在演绎推理中，只有前提(大前提、小前提)和推理形式都是正确的，结论才是正确的，否则所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前提及二者之间的逻辑关系．证明 (1)因为有一个角是直角的三角形是直角三角形，——大前提 在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，——小前提 所以△ADB 是直角三角形．——结论(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提 而M 是Rt △ADB 斜边AB 的中点，DM 是斜边上的中线，——小前提所以DM ＝12AB .——结论同理EM ＝12AB ，所以DM ＝EM .变式迁移3 解 证明是“三段论”模式，证明有错误．证明前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原理的真实性仍无法断定．课后练习区1．B [由(1)(2)(3)(4)图得A 表示|，B 表示□，C 表示—，D 表示○，故图(A)(B)表示B *D 和A *C .]2．A [计算f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x＝－1x ，f 3(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝1－1x 1＋1x＝x －1x ＋1， f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x1－x ，归纳得f 4k ＋i (x )＝f i (x )，k ∈N *，i ＝1,2,3,4.∴f 2 010(x )＝f 2(x )＝－1x.]3．B [只有①、②对，其余错误，故选B.]4．C [设图(1)中数列1,3,6,10，…的通项公式为a n ，则 a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n . 故a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，∴a n ＝n n ＋12.而图(2)中数列的通项公式为b n ＝n 2，因此所给的选项中只有1 225满足a 49＝49×502＝b 35＝352＝1 225.]5．D [观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依次类推和为n ＋1的数对有n 个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n n ＋12＝60⇒n (n ＋1)＝120，n ∈Z ，n ＝10时，n n ＋12＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60个数对是(5,7)．]6．空间正四面体的切球的半径是高的14解析 利用体积分割可证明． 7．n8．n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析 ∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.9．解 当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23.(2分)当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－43，∴S 2＝－34.(4分)当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，∴S 3＝－45.(6分)当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，∴S 4＝－56.(8分)猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．(12分)10．(1)证明 函数f (x )的定义域为R ，任取一点(x ，y )，它关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．(2分)由已知得y ＝－aa x ＋a，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，(4分)f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－aa a x＋a＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a，∴－1－y ＝f (1－x )．即函数y＝f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(6分) (2)解由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)，即f(x)＋f(1－x)＝－1.(9分)∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1，则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3. (12分)11．解类似的结论为：VO—P1Q1R1VO—P2Q2R2＝OP1OP2·OQ1OQ2·OR1OR2.(4分)这个结论是正确的，证明如下：如图，过R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2，连接OM2.过R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1，则R1M1⊥平面P2OQ2.由V O—P1Q1R1＝13S△P1OQ1·R1M1＝13·12OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1＝16OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1，(8分)同理，V O—P2Q2R2＝16OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2.所以111222o p o ro p o rVV＝OP1·OQ1·R1M1OP2·OQ2·R2M2.(10分)由平面几何知识可得R1M1R2M2＝OR1OR2.(12分)所以111222o p o ro p o rVV＝OP1·OQ1·OR1OP2·OQ2·OR2.所以结论正确．(14分)。