附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。

（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为：半圆对x 轴的静矩为：因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。

（a ）(b) 解：(c) 解：习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置型钢号 Ai(cm2) Yci(cm) AiYci(cm3)Yc(cm) Xci(cm) AiXci(cm3)Xc(cm)槽钢20 32.837 10 328.37 -1.95 -64.03 等边角钢80*1015.126 2.3535.5462.3535.54647.963363.927.6-28.49-0.6Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。

解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。

dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为：四分之一圆对x 轴的惯性矩为：由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为： 微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：[习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。

解：圆的方程为：如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为： 切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为： [习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。

解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。

=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+16163244a a 故正方形对其的对角线的惯性矩为：124a I z =。

[习题I-7] 试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x 的惯性矩。

(a) 解：)(21177368])175150(1[17514.3641)1(64144424mm D I x =-⨯⨯=-=απ (b)[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的 轴的惯性矩。

解：已知三角形截面对以BC 边为轴的惯性矩是 ，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩所以再次应用平行轴定理，得 [习题I-9] 试求图示 的半圆形截面对于轴 的惯性矩，其中轴 与半圆形的底边平行，相距1 m 。

解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴 的惯性矩[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x 的惯性矩。

解：由于三圆直径相等，并两两相切。

它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。

该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是 上面一个圆的圆心到 轴的距离是d 632。

利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下： [习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。

解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是。

利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 （b ）等边角钢 的截面积是，其形心距外边缘的距离是28.4mm ，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：习题I-11（b ）图图形 b hIxc a A Ix 中间矩形 10600 00 6000 0 上矩形 250 10 20833 305 2500 3 下矩形 250 1020833 30525003 左上L 形 1795100 271.6 1926 5 右上L 形 1795100 271.6 1926 5 左下L 形 1795100 271.6 1926 5 右下L 形1795100271.6 1926545[习题I-12] 试求习题I-3a 图所示截面对其水平形心轴 的惯性矩。

关于形心位置，可利 用该题的结果。

解：形心轴 位置及几何尺寸如图所示。

惯性矩计算如下：[习题I-12] 试求图示各截面对其形心轴x 的惯性矩。

习题I-13(a)图形bi hi Ai Yci AiYci Yc aiIxc Ix(mm 4)上矩形 1000 100 100000 65022533 下矩形 300600 180000 3001250000全图280000 0 425习题I-13(c)图形 bihirAiYci AiYciYc Ixc(mm4)aiIx(mm 4)矩形 2140 1150 2461000 575 00 8333 159 8275半圆 790 -980333 335 -7791 399 2116全图1480667 33 7346159半圆：π3/4r y c =半圆：ππ9/88/44r r I xc-=习题I-13(d)图形bi hi AiYciAiYciYc ai Ixci Ix(mm 4)从下往220 163520828160374 750933习题I-13( b)图形bihiAiYci AiYciYcai IxcIx(mm 4)上图(3) 25 150 3750275 1031250 148 7031250 中图(2) 200 150 30000 125 3750000 2下图(1) 100 50 500025125000102 1041667全图38750 4906250 127180 14 252023 57960 359 41160 0 16674 10784367 3957728 099 220 14 3080 711 2189880 329 50307 7 445 94005 722.52893613341 270345 239099127341 38214[习题I-14] 在直径a D 8=圆截面中，开了一个a a 42⨯的矩形孔，如图所示。

试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩x I 和y I 。

解：先求形心主轴 的位置截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：（y 轴向下为正）（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）（组合图形对形心轴x 的惯性矩）习题I-14b(a) h(a) r(a) Ai(a2) Yci(a) AiYci Yc(a) Ixcai Ix(a4)矩形 42-8.00 1 -8 2.667 1.1893 14.0圆450.27 0201.062 -0.1893 202.942.27-8-0.1893 188.9[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为mm d 100=的半圆形孔，如图所示。

试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。

解：习题I-15图形 bi hirAiYci AiYciYcIxci ai Ix 正方形 200 20040000 100 4000000 3 2 1 半圆 50 -3927 79 -30936568597724 2860346全图360733690635 1025形心位置：X （0，102）。

对水平形心轴的惯性矩：4130686455mm I x 。

对竖直形心轴的惯性矩：习题I-15图形 a r Iy （mm 4） 正方形 200 3.3 半圆 50 2454367全图6[习题I-16] 图示由两个a 20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩x I 和y I 相等，则两槽钢的间距a 应为多少？解：20a 号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。

根据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对 ，轴的惯性矩分别是；若即等式两边同除以2，然后代入数据，得于是所以，两槽钢相距[习题I-17] 试求图示截面的惯性积xy I解：设矩形的宽为b 高为h ，形心主惯性轴为c c y x 0，则由平行移轴公式得：故，矩形截面对其底边与左边所构成的坐标系的惯性积为： 2241h b I xy =[习题I-18] 图示截面由两个125的等边角钢及缀板（图中虚线）组合而成。

试求该截面的最大惯性矩m ax I 和最小惯性矩m ax I 。

解：从图中可知，该截面的形心C 位于两缀板共同的形心上。

过C 点作水平线，向右为c x 轴正向；过C 点，垂直于c x 轴的直线为c y 轴向上为正。

把c c cy x 坐标绕C 点逆时针转045 后所得到的坐标系是截面的的两条对称轴，也就是该截面的形心主惯性轴00,y x 。

主惯性矩max 0I I x =，min 0I I y =查型钢表得：12.5号等边角钢的参数如下：2373.24cm A = ，4'46.14900cm I I x y ==，4'89.57300cm I I y x ==，cm z 45.30= 角钢形心主惯性轴与截面形心主惯性轴之间的距离： （注：缀板用虚线画出，表示其面积可忽略不计）[习题I-19] 试求图示正方形截面的惯性积11y x I 和惯性矩1x I ，1y I 并作出比较。

解：124a I x =0=xy I （y x ,为形心主惯性轴）结论：1、过正方形形心的一对相互垂直的轴，它们的惯性矩相等，它们的惯性积为零；2、过正方形形心的一对相互垂直的轴，绕形心转动之后，惯性矩、惯性积保持不变。

[习题I-20] 确定图示截面的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。

（a ）解： 截面的形心主惯性轴与竖直矩形的形心主惯性轴重合。

Ix Iy Ixy6.5 6.6 -0 Ix0= 7 6.56.6-0Iy0=(b)习题I-17图形 b h Ixy 左矩形 10 100 250000 下矩形: 100 10 250000 重复加的矩形 10102500全图上图+下图-重复图= 497500解：以20号槽钢（图I ）的下边缘为x 轴，左边缘为y 轴，建立坐标系。

8号槽钢编号[习题21] 试用近似法求习题I-4所示截面的x I ，并与该题得出的精确值相比较。

已矩该截面的半径mm r 100=。