截止条件
远离截止条件
TE 0 m TM 0m
J1(U) K1(W) 0 UJ0(U) W0J(W)
1 J1(U) K1(W) 0 2U0J(U) W0J(W)
J0(U0cm)0
J0(U0cm)0
J1(U 0 m)0(U 0 m0) J1(U 0 m)0(U 0 m0)
HE 1m
12U J01(J(U U))W K01(J(W W))0 J1(U 1 cm)0(U 1 cm0)
3.11 阶跃光纤中的线性偏振模
弱导近似下本征方程的统一形式 TM模: 1 Jl'(U) Kl'(W) 0 2 UJl (U) WKl (W)
x2y2z2k20
iji i (ix,y,z)
相位常数 衰减常数 （传播常数）
i 表示光波沿i方向传播单位距离后的相位改变量
3.2 波动光学基础
相速度和群速度
群速度就是指电磁波的包络传播的速度。实际上就是电磁波实际前进的速度。 相速度就是电磁波相位传播的速度。通俗地讲，就是电磁波形状向前变化的速度。 在波导中，相速度往往比群速度要大。
3.8 由本征方程出发讨论模式的分类及性质
模式及其基本性质
T:Transverse E:Electric field M:Magnetic field
TEM模 TE模 TM模 HE或EH模
Ez Hz 0
Ez 0,Hz 0 Ez 0,Hz 0 Ez 0,Hz 0
光纤中的模式：HE（EH）模，TE（TM）模
3.2 波动光学基础 包含内容
麦克斯韦方程组 波动方程（亥姆霍兹方程） 传播常数 相速度和群速度
k 图（缺）
第二章已讲过
3.2 波动光学基础
传播常数
对于齐次亥姆霍兹方程，当取这些物理量的任一直角分量时，可有下式成立：
此式的通解为 于是可得 其中 传播常数
2uk2u0
uu0e(xxyyzz)
J0(U1m)0
HElm(l 2) 12U Jl1lJ((U U))W Kl1l(J(W W))0 Jl2(U lcm )0(U lcm 0) Jl1(U l m )0(U l m 0)
EHlm(l 0)
Jl1(U)Kl1(W) 0 UlJ(U) WlJ(W)
Jl(U lcm )0(U lcm0) Jl1(U l m )0(U l m 0)
2rE2z
1 Ez r r
1 r2
2Ez
2
t2Ez
0
2Hz r2
1 Hz r r
1 r2
2Hz
2
t2Hz
0
简化阶跃光纤结构
用分离变量法解耦
在纤芯、包层界面运用边界条件
获得本征方程
3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解 阶跃光纤中的波导方程——简化阶跃光纤结构
a
n2 n1
b
n0 1
a
n1
导波模、辐射模（泄漏模） 初始端
LD、点源经准直透镜的光束
导波模 波导、导波的概念！
导波：能量被局限在某个系统内部或系统周围并沿该系统导引的方 向传输的电磁波。
波导：凡是能引导和限制电磁波传输的系统。
3.1 光纤模式理论概述 模式——电磁场场形
模式：是波导结构的固有电磁共振属性的表征。 一给定光纤波导中能够存在的模式及其性质是已确定了 的，而外界激励源只能激励起光纤中允许存在的模式而 不会改变模式的固有性质。
形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，你会觉得电钻的钻头的螺纹在 旋转时似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的“相速度”， 虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推 进的速度就是“群速度”。如果墙壁很硬，你的电钻根本就钻不进去，电钻向前 推进的速度为“0”，但是你从电钻的螺纹上看却总是觉得电钻是不断钻进去的。
3.10 若干低阶模式的色散曲线 若干低阶模式有效折射率随归一化频率变化的曲线
3.10 若干低阶模式的色散曲线 对色散曲线图的说明
上图左纵坐标表示各导模的有效折射率 / k0
右纵坐标表示归一化变量
b
2 k02n22
k02n12 k02n22
1.对b的范围的讨论（光能量是否被良好地闭锁在纤芯中） 2.模式出现的先后顺序
光纤中模式的偏振特性、 场强关系和相位关系3.4
3.8 由本征方程出发讨论模式的分类及性质
阶跃光纤中的模式分析——模式分类
讨论本征方程
[1J l '( U ) K l '( W )]J [ l '( U ) K l '( W )] l2 (1 1 )1 (1 1 ) 2 U l( U )J W l( W )K U l( U )J W l( W )K U 2W 2 2 U 2W 2
9
3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立 光纤中电磁波的假设解
光纤波导中，电磁波在纵向（轴向）以“行波”的形式存在，在横向上 以“驻波”的形式存在。即：场分布在轴向的变化只体现在相位上，场 的幅度不随轴向传播距离而变化（前提：光纤中无模式耦合，也不存在 损耗和增益）
假设波导中存在如下形式的模式解
E Exye 0 (,)j( t z) H Hxye 0 (,)j( t z)
：介电常数 ：磁导率
可得出
E
x
j
2 t
(
E z x
H z ) y
E y
j
2 t
(
E z y
H z ) x
H
x
j
2 t
(
H z x
E z ) y
H
y
j
2 t
(
H z y
E z ) x
2Ez x2
2Ez y 2
t2Ez 0
2
H
z
x2
2Hz y 2
t2H z 0
3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立 圆柱坐标下光纤中电磁波横向场分量与纵向场分量之间的关系
3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立 本征值问题
2uk2u0 2uk2u
如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。其中 该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。 波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解——本征解及其对应的 本征值，在数学上称之为“本征值问题”。
其复振 E H E H 幅 0 0 ( ( x x, , y y) ) e e形 jj zz 式
3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立
直角坐标下光纤中电磁波横向场分量与纵向场分量之间的关系
根据麦克斯韦方程组和物质方程（无源、各向同性介质中）
HD
E t B t
D E
HB/
R(1r)[r2
dd2R(r2r)rddR(rr)t2r2R(r)]l2
简谐振动方程 典型的贝塞尔方程
3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解
阶跃光纤中的波导方程——用分离变量解耦
() ejl
() scionsll
R(r)C AK Jll((|trt)|r)A'YCl('Ilt(r)|t |r)
1Er12Er2
Hz1Hz2
1纤芯
H1H2
2包层
1Hr12Hr2
3.7 运用边界条件得出本征方程 本征方程
[1 2 U J l 'l ( U ( U ) ) J W K l '( lW ( W ) ) ] K U J [ l 'l ( U ( U ) ) J W K l '( lW ( W ) ) ] K l2 ( U 1 2 W 1 2 )1 2 ( U 1 2 W 1 2 )
第三章 光纤传输的波动理
论
主要内容
3.1 光纤模式理论概述 3.2 波动光学基础 3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立 3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解 3.5 阶跃光纤中电磁场分量的具体表达式 3.6 三个重要参数 3.7 运用边界条件得出本征方程 3.8 由本征方程出发讨论模式的分类和性质 3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 3.10 若干低阶模式的色散曲线 3.11 阶跃光纤中的线性偏振模 3.12 LP模的场分布形式（与下标l,m的关系） 3.13 导模纵向功率流 3.14 主模式号、模组、模群和模角 3.15 阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布 3.16 阶跃光纤中导模数量 3.17 波动光学结果与几何光学结果的对照 3.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKBJ解法 3.19 多模渐变型光纤的模式特性 3.20 单模光纤的模式特性
b
n2
阶跃光纤实际结构
求解时建立的对应物理模型
为什么使用包层光纤而不用裸光纤？
3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解
阶跃光纤中的波导方程——用分离变量法解耦
求解 2 rE 2z1 r E rzr1 2 2E 2 zt2E z0利用分离变量法 令 E zA(rR )()
得到
dd2(2)l2()0
关注包层中电磁场分量表达式
Ez CKl(W ar)ejl
3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件
3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件 各类模式（精确模）对应的本征方程和截止、远离截止条件
模式
本征方程
3.11 阶跃光纤中的线性偏振模 弱导近似
前面讨论了本征方程的精确解，直观意义不明确并且比较复杂。 下面讨论弱导近似下的本征方程。
弱导近似——weakly guiding approximation
1 12
此时，本征方程可简化为
U Jl'l(U (JU ))W Kl'(lW (K W ))l(U 12W 12)