广东省2019年高考理科数学模拟试题及答案（一）（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i2．设集合{}{}{}20,1,2,3,4,5,1,2,3,|540U A B x Z x x ===∈-+≥，则()U A B = ðA ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．{}2,3D ．{}23. 下列说法中正确的是A.命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B.命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题C.命题“存在000,1x x e x ∈≤+R ”的否定为：“对,1xx e x ∀∈>+R ”D.直线l 不在平面α内，则“l 上有两个不同的点到α的距离相等”是“//l α”的充要条件 4．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝A. 35-B.35C.55- 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=A ．13 B ．13- C ．12D ．12-6. 已知数列}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=⋅a a ，则101a a +的值为A. 7B.5C.7-D.5-7. 设不等式组-20+200x y x y x ≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域为Ω.则A. 原点O 在Ω内B.Ω的面积是1C. Ω内的点到y 轴的距离有最大值D.若点P(x 0,y 0) ∈Ω，则x 0+y 0≠08．如右图是寻找“徽数”的程序框图．其中“S MOD 10”表示自然数 S 被10除所得的余数，“S \10”表示自然数S 被10除所得的商．则 根据上述程序框图，输出的“徽数”S 为 A ．18B ．16C ．14D ．129. 已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过A B C D ，，，四点的球的表面积为A ．3πB ．4π C.5π D ．6π10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．根据需要安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日 12．椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为12,F F ，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△12AF F 的周长为6A. 22143y x +=B. 22132y x +=C. 2212x y += D. 2214x y +=二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设集合{}22(,)|(3sin )(3cos )1,A x y x y R ααα=+++=∈，{}(,)|34100B x y x y =++=，记P A B = ，则点集P 所表示的轨迹长度为 。

14. 在52()x x+的二项展开式中，3x 的系数为_______________。

15．设，若函数的最小正周期为，则 ____ 。

16.“五一”期间小王、小刘、小董、小韩到影院看电影，她们到影院之后发现，当天正在放映甲、乙、丙、丁、戊五部影片，于是她们一起看其中的一部影片： 小王：只要不是乙就行；小刘：乙、丙、丁、戊都行,其它的不行； 小董说：我喜欢丁，但是只要不是丙就行； 小韩说：除了戊之外，其它的都可以．据此判断，她们可以共同看的影片为______________。

三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, （一）必考题：共60分。

17．（本小题共12分）已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项21=a ，且1,1,1421+++a a a 成等比数列。

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，*N n ∈，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使193<n S 成立的最大的正整数n 。

18．（本小题满分12分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥。

求证：（1）AB ∥平面11A B C ； （2）平面11ABB A ⊥平面1A BC ．19．（本小题共12分）考试评价规定：在测试中，客观题难度的计算公式为ii R P N=，其中i P 为第i 题的难度，i R 为答对该题的人数，N 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生中至少有1人答对第5题的概率；（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设i P '为第i 题的实测难度，i P 为第i 题的预估难度．定义统计量22211221[()()()]n n S P P P P P P n'''=-+-++- ，考试评价规定：若0.05S <，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试对难度的预估是否合理． 20. （本小题共12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆P F F y x O ),0,3(),0,3(,4:2122-=+为平面内一动点，若以 线段2PF 为直径的圆与圆O 相切.(1)证明||||21PF PF +为定值,并写出点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过1F 交C 于,A B 两点,过1F 且与l 垂直的直线与C 交于,M N 两点,求四边形AMBN 面积的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =++=-∈．(1)当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；(2)若存在与函数()(),f x g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1:4C x y +=，曲线21cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）， 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求曲线12,C C 的极坐标方程；（II ）若射线)0(≥=ραθ与曲线12,C C 的公共点分别为,A B ，求OBOA的最大值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()()2210f x x a x a =-++>，()2g x x =+ （Ⅰ）当1a =时，求不等式()()f x g x ≤的解集； （Ⅱ）若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A2.C3.C4.A5.B6.C7.D8.D9.C 10.A 11.C 12.A 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.丁三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, （一）必考题：共60分。

17．（本小题共12分）（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则2(1)n a n d =+-，*N n ∈.由 11a +，21a +，41a +成等比数列，得()()()2214111a a a +=++， ………………2分即()()23333d d +=+，得0d =（舍去）或3d =. ……………… 4分所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-，*N n ∈. ………………6分 （Ⅱ）因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎡⎤===-⎢⎥-+-+⎣⎦， ………………8分 所以 ()111111111111325358331323232232n nS n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ . 由319n S <，即()323219n n <+，得12n <. ………………10分 所以使319n S <成立的最大的正整数11n =. ………………12分 18. （本小题共12分）证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ． 19.（本小题共12分）解：（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为40.220=． 所以，估计240人中有2400.248⨯=人实测答对第5题． ……………4分 （2） 因为20人中答对第5题的人数为4人，因此这2名学生中至少有1人答对第5题的概率为p=1- 220216C C =197 …………………8分（3）222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S =-+-+-+-+-0.012=．因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． …………………12分20. （本小题共12分）解：(1)设2PF 的中点为G ，连接OG PF ,1，在21F PF ∆中，G O ,分别为221,PF F F 的中点，所以||21||1PF OG =, 又圆O 与动圆相切，则||212||2PF OG -=，所以||212||2121PF PF -=, ……1分即4||||21=+PF PF 为定值， ………………………………………………2分32||4||||2121=>=+F F PF PF ,所以点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆， ……………………………3分设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ,则1,3,2===b c a ,所以点P 的轨迹方程为1422=+y x . ……………4分（2）(法一)①当直线l 的斜率不存在时，不妨设11(),(),M(2,0),(2,0)22A B N --，则4||,1||==MN AB ， 四边形AMBN 面积2||||21==MN AB S ; ②当直线l 的斜率为0时,同理可得四边形AMBN 面积2=S ;…………5分 ③当直线l 的斜率存在且不为0时,可设直线l的方程为(y k x =设),(),,(2211y x B y x A ,联立22(440,y k x x y ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩得2222(14)1240k x x k +++-=， ……………6分22121222124,,1414k x x x x k k --+==++ ………………………………………7分21224(1)|||14k AB x x k+=-==+， 同理222214[()1)]4(1)|MN |,144()1k k k k-++==+-+……………………………………8分四边形AMBN 面积)14)(4()1(8||||212222+++=⋅=k k k MN AB S ，………………9分 设112>=+t k ，则()))1,0(1(4998994834)3(8)(2222∈++-=-+=-+=tt t t t t t t t t S ，…………10分 所以22532<≤S ；…………………………………………………………11分 综上所述,四边形AMBN 面积的取值范围是]2,2532[.…………………12分(法二)①当x AB ⊥轴时，不妨设)21,3(),21,3(---B A ，则4||,1||==MN AB ，四边形AMBN 面积2||||21==MN AB S ，②当y AB ⊥轴时,同理可得四边形AMBN 面积2=S .………………………5分 ③当直线AB 不垂直坐标轴时,设AB 方程为)0(3≠-=m my x ，),(),,(2211y x B y x A ,联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=044322y x my x 得0132)4(22=--+my y m ，………………………6分,41,432221221+-=+=+m y y m m y y ……………………………………………7分 4)1(44)(1||1||22212212212++=-++=-+=m m y y y y my y m AB ，同理14)1(44)1()]1)1[(4|MN |2222++=+-+-=m m mm ，…………………………………8分 四边形AMBN 面积)14)(4()1(8||||212222+++=⋅=m m m MN AB S ，………………9分 设112>=+t m ，则()))1,0(1(4998994834)3(8)(2222∈++-=-+=-+=tt t t t t t t t t S ，……………10分 所以22532<≤S ；……………………………………………………………11分 综上所述,四边形AMBN 面积的取值范围是]2,2532[.………………………12分21．（本小题满分12分） （1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-= 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增， 所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值； （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++=不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, 又当2a x e+=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++-- 2211()04a a e+=-≥ 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同． 又由12y x x =-得：2120y x'=--< 所以12(0,1)y x x =-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．（二）选考题：共10分。