结果扩展不确定度的最后一位有效数字的一半，就认为系统误差已可忽略不计。

§4测量不确定度在测量过程中，当对同一物理量进行多次重复测量时，影响测量结果的不重复和不准确的原因很多，例如，测量仪器不准确，测量方法不完善，对被测量定义的方法不完整、不理想或不完善，赋予计量标准的值和标准物质的值不准确，测量人员的主客观因素及环境的影响等，使得测量结果只能是近似值。

实践证明，测量误差是客观存在的，由于真值未知，因此也就不可能确切地得到测量误差，由此引出了用测量不确定度来说明和衡量测量结果的质量。

不确定度是误差理论发展和完善的产物，是建立在概率论和统计学基础上的新概念，目的是为了澄清一些模糊的概念和便于使用。

它表示由于测量误差的影响而对测量结果的不可信程度或有效性的怀疑程度，或称为不能肯定的程度。

它是定量说明测量结果的质量的一个参数。

测量值在某个区域内以一定的概率分布，表示被测量分散性的参数就是测量不确定度，它不说明测量结果是否接近真值。

多年来，世界各国对测量结果不确定度的估计方法和表达方式存在的不一致性，影响了计量和测量成果的相互交流。

为此，1993年国际不确定度工作组制定了Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement(测量不确定度表达导则)，经国际计量局等国际组织批准执行，由国际标准化组织(ISO)公布。

这里将采用符合国际和国家标准的对误差理论和测量不确定度的表示方法。

§4.1 不确定度的术语不确定度是说明测量结果的参数，它用于表达被测量值可能的分散程度。

这个参数用标准偏差表示，也可以用标准偏差的倍数或置信区间的半宽度表示。

根据计算及表示方法的不同，有以下几个专用术语。

(1)标准不确定度:测量结果的不确定度由多种原因引起，一般来源于随机性或模糊性。

所有这些不确定度的来源都会影响测量结果，其综合效应使测量结果的可能值服从某种概率分布。

用概率分布的标准偏差表示的不确定度就称为标准不确定度，用符号u表示。

因为测量不确定度往往是由多种原因产生，对每个u表示。

标准不确不确定度来源评定的标准偏差，称为标准不确定度分量，用i定度有两类评定方法：A类评定和B类评定。

(a)A类标准不确定度:用统计方u表示。

(b)B类标准不法得到的不确定度，称为A类标准不确定度。

用符号A确定度用非统计方法得到的不确定度，即根据资料或假设的概率分布估计的标u表示。

A类标准不准偏差表示的不确定度，称为B类标准不确定度，用符号B确定度和B类标准不确定度仅仅是评定方法不同。

(2)合成标准不确定度:由各不确定度分量合成的标准不确定度，称为合成标准不确定度。

当测量结果是由若干其他量求得的情况下，测量结果的标准不确定度u表示。

合成标准等于各其他量的方差和协方差相应和的正平方根，用符号C不确定度仍然是标准(偏)差，表示测量结果的分散性。

合成的方法，常被称为“不确定度传播律”。

(3)扩展不确定度:扩展不确定度是由合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度。

它用包含因子是乘以合成标准不确定度得到的一个区间半宽度来表示测量不确定度。

包含因子是为获得扩展不确定度，而与合成标准不确定度相乘的数字因子，它的取值决定了扩展不确定度的置信水平。

扩展不确定度是测量结果附近的一个置信区间，被测量的值以较高的概率落在该区间内，用符号U 表示。

通常测量结果的不确定度都用扩展不确定度表示。

当说明具有置信水平为P 的扩展不确定度时，可以用P U 表示，此时包含因子可用P k 表示。

例如，95.0U 表示测量结果落在以U 为半宽度区间的概率为0.95。

U 和C u 单独定量表示时，数值前可不加正负号。

注意测量不确定度也可以用相对形式表示。

§4.2 误差与不确定度的区别误差虽然是客观存在的，但不能准确得到，它是属于理想条件下的一个定性的概念，反映测量误差大小的术语准确度也是一个定性的概念。

测量不确定度反映的是对测量结果的不可信程度，是可以根据试验、资料、经验等信息定量评定的量。

误差是不以人的认识程度而改变的客观存在，而测量不确定度与人们对被测量和影响量及测量过程的认识有关。

在测量不确定度中不包括已确定的修正值。

已修正的测量结果的测量不确定度中应考虑修正不完善引入的不确定度分量。

例如，某力值的未修正结果是2000 N，用高一级校准装置校准该力值，得到修正值为4.3 N，校准装置引起的修正值的不确定度为0.02 N，如果其他因素引起的不确定度均可忽略，则该力值的已修正测量结果为2004.3 N，其不确定度为0.02 N。

过去所谓的“误差传播定律”，所传播的其实并不是误差，而是不确定度。

现在已改称为“不确定度传播定律”。

须要注意A 类或B 类标准不确定度与随机误差、系统误差之间不存在简单的对应关系。

随机误差、系统误差是表示两种不同性质的误差，测量不确定度评定时一般不必区分其性质。

A 类和B 类不确定度是表示两种不同的评定方法。

在需要区分不确定度性质的情况下，可用：“由随机影响引起的不确定度分量”和“由系统影响引起的不确定度分量”两种表述方法。

这两种表述方法不表明不确定度分量用什么方法评定，即不确定度分量既可能用A 类也可能用B 类评定方法得到，性质与评定方法间没有对应关系。

另外，测量数据中不应包括异常数据。

对测量数据应进行异常数据判别，一旦发现有异常数据应剔除，不应包括在测量结果的范围内。

因此在不确定度的评定前要剔除异常数据。

§4.3 不确定度的评定方法1．标准不确定度的A 类评定方法A 类标准不确定度的评定是用统计方法获得的，在多数情况下可以用下述方法计算。

在同一条件下对被测量X 进行n 次测量，测量值为n x x x x K ,3,2,1，n。

由下式得到样本算术平均值x ，x 为被测量X 的估计值即测量结果，∑==ni i x n x 11。

X的实验标准偏差可用贝塞尔公式计算得到: 2/1121)()(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=∑=n x x X S n i i ,式中自由度1−=n υ。

此外，还可以采用极差法、较差法等计算标准偏差。

如果被测量既随时间漂移又随机地变化，则推荐采用较差法求标准偏差。

用算术平均值作为测量结果时，x 的实验标准偏差)(x S 即测量结果的A 类标准不确定度A u 为: nX S x S u A )()(== (4) 当被测量X 的估计值是由实验数据用最小二乘法拟合的一条直线或曲线得到时，任意预期的估计值或表示曲线拟合参数的标准不确定度都可以用已知的统计程序计算得到。

2．标准不确定度的B 类评定方法当不能用统计方法计算不确定度时，就要用B 类方法评定。

B 类方法评定的主要信息来源是以前测量的数据、生产厂的技术说明书、仪器的鉴定证书或校准证书等。

它不是利用直接测量获得数据，而是需要查已有信息。

这类信息通常只给出极大值与极小值，而未提供测量值的分布及自由度的大小。

B 类标准不确定度就是根据现有信息评定近似的方差或标准偏差以及自由度，分析判断被测量的可能值不会超出的区间(αα−,)，并假设被测量的值的概率分布，由要求的置信水平估计包含因子是k 则测量不确定度B u 为: k u B /α= (5) 式中: α---区间的半宽度；k ---包含因子，也称为置信因子，通常在2～3之间。

是的选取与概率分布有关，例如，假设为正态分布时，查表2,5,假设为非正态分布时，根据概率分布查表6。

表5 正态分布时概率与置信因子k 的关系概率P% 50 68.27 90 95 95.45 99 99.73 置信因子k 0.676 1 1.645 1.960 2 2.576 3注：表中β为梯形的上底半宽度与下底半宽度之比。

B 类标准不确定度评定的可靠性取决于所提供信息的可信程度，在可能情况下应尽量利用长期实际观察的值估计概率分布。

多数情况下，只要测量次数足够多，根据中心极限定理，算术平均值的概率分布近似为正态分布。

此外，当对被测量落在可能区间的情况缺乏具体了解时，一般假设为均匀分布。

3．合成标准不确定度的计算方法合成标准不确定度可用各不确定度的分量合成得到，不论各分量是由A 类评定还是B 类评定得到。

计算合成标准不确定度的公式称为测量不确定度传递率(或传播率)。

合成标准不确定度仍然是标准偏差，表示测量结果的分散性；合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，用eff u 表示，它表明所评定的C u 的可靠程度。

测量不确定度传递率(或传播率)可以理解为误差理论中的间接测量误差的传递率。

(1)协方差和相关系数的概念如果有两个随机变量X 和Y ，其中一个量的变化导致另一个量的变化，那么这两个量是相关的。

如果两个随机变量的联合概率分布是它们每个概率分布的乘积，那么这两个随机变量是统计独立的。

独立的变量之间肯定不相关，但不相关的变量不一定独立。

1)协方差的概念两个随机变量的协方差是它们相关性的一种度量。

随机变量X 和Y 的协方差定义为各自误差之积的期望。

)])([(),(y x OV y x E Y X C μμ−−=定义的协方差是一个理想的概念，实际衡量两个变量的相关性可求协方差的估计值。

协方差的估计值为: ∑=−−−=ni i i xy y y x x n S 1))((11 2)相关系数的概念相关系数是表示两个随机变量相关程度的参数。

两个随机变量相互间线性相关关系的强弱，可用相关系数Q 表示。

)()(),(),(Y X Y X C Y X Q OV σσ= 式中 ),(Y X C OV ---变量X 和Y 的协方差,)(),(Y X σσ---变量X 和Y 的标准偏差, Q ---相关系数，取值范围为11≤≤−Q 。

当10<<Q 时，表示X 和Y 正相关，即一个变量增大时，另一个变量的值也增大。

当01<<−Q 时，表示X 和Y 负相关，即一个变量增大时，另一个变量的值减小。

当1=Q 时，表示X 和Y 完全正相关。

当1−=Q 时，表示X 和Y 完全负相关。

完全正相关或完全负相关，都表示两变量之间存在着确定的线性函数关系。

当0=Q 时，表示两变量相互不相关。

在实际工作中，由于不可能测量无限多次，因此无法得到理想情况下的相关系数，那么可采用对X 和Y 的一组试验数据由下式求得相关系数的估计值),(y x r ：)()()1())(()()())((),(111221y S x S n y y x x y y x x y y x x y x r n i i i n i n i ii ni ii −−−=−−−−=∑∑∑∑====式中 )(),(y S x S ---两变量的实验标准偏差。

(2)输入量不相关时不确定度的合成当影响测量结果的几个不确定度分量相互均不相关且彼此独立时，合成标准不确定度为各标准不确定度分量i u 的方和根值，由下式表示： 2/1122)()(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=∑=n i i i C x u x f y u (6)式中f ---被测量与各直接测得量的函数关系,)(i x u ---A 类或B 类标准不确定度分量, ix f ∂∂--被测量y 在i i x X =时的偏导数，称为灵敏系数，也称为传播系数，符号为i c 。