间接测量量的最佳值为：
N f (x, y, z, )
41
2、间接测量量不确定度的合成
N
f x
2
2x
f y
2
2y
f z
2
2z
N N
ln N x
2
2x
ln N y
2
2y
ln N z
2
2z
※不确定度传递系数
42
例如：
y 3x12 x2 4x2 x3 2
两边求微分得:
百分差
E 0
测量值 公认值 公认值
100 %
10
2、误差的分类
系统误差 恒定性
可用特定方法来消除或减小
随机误差 随机性
可通过多次测量来减小
11
系统误差 保持不变或以可预知方式变化的误差分量 来源:①仪器固有缺陷;
②实验理论近似或方法不完善； ③实验环境、测量条件不合要求； ④操作者生理或心理因素。
第1节 测量与误差 第2节 随机误差的处理 第3节 实验错误数据的剔除 第4节 测量不确定度及估算 第5节 有效数字及运算规则 第6节 实验数据处理基本方法
4
§1 测量与误差
一、测量
1、测量的含义 • 测量就是借助仪器将待测量与同类标准量进行比
较，确定待测量是该同类单位量的多少倍的过程 称作测量。测量数据要写明数值的大小和计量单 位。
次测量相当于一次射击。
（a）准确度高、 精密度低
（b）精密度高、 （c）精密度、准确
准确度低
度均高
14
§2 随机误差的处理 一、随机误差的正态分布规律
大量的随机误差服从正态分布规律
误差 x x x0
f ( x)
概率密度函数
f ( x)
1
x2
e 2 2
2
标准误差
lim
xi2
n
n
0
正态分布
S小x ，小误差占优，数据集中，重复性好。
S
大，数据分散，随机误差大，重复性差。
x
21
总面积=1
22
三、测量结果最佳值—算术平均值
多次测量求平均值可以减小随机误差
x
1 n
n i 1
xi
算术平均值是真值的最佳估计值
23
§3 实验中错误数据的剔除
1. 拉依达判据
• 对于服从正态分布的随机误差，出现在 ±S区间内概率为68.3%，与此相仿，同 样可以计算，在相同条件下对某一物理 量进行多次测量，其任意一次测量值的 误差落在 -3S到+3S区域之间的可能性 （概率）。其值为
所以无异常值
5、计算
A t( )
Sx n
2.57 0.037
1 6
0.039cm
49
6、计算： B 仪＝0.05cm
7、计算：(x)
2 A
2B
0.063cm
E(x) (x) 100% 0.063 100% 0.22%
x
29.23
8、最后结果：
x 29.23 0.06(cm) P 95%
绪论 测量误差与数据处理
1
物理实验基本程序和要求
1.实验课前预习
(1)预习与本实验相关的全部内容。 (2)写出预习报告（实验题目、目的、原理、
主要计算公式、原理简图）,准备原始实验 数据记录表格。
2.课堂实验操作
(1)上课需带实验讲义、笔、尺、计算器等。 (2)必须在了解仪器的工作原理、使用方法、 注意事项的基础上，方可进行实验。
4M D2H
代入数据
4M
D2H
4 236124
31416 2 3452 8 21
4 236 1
3 142 2 345 2 8 21
6 66(g / cm3 )
52
相对不确定度
()
(M M
)
2
2
(D) D
2
(H H
)
2
( 0002 )2 (2 0005)2 (001)2 236124 2345 8 21
Gn
n
Gn
2.00 25 2.33
2.03 30 2.39
2.07 40 2.49
2.10 50 2.58
2.13 100 2.80
2.15
2.20
2.24
27
§4 测量不确定度及估算 一、不确定度基本概念 被测量的真值所处的量值范围作一评定 测量结果：
测量值X和不确定度 x 单位 置信度
x 9.515 0.005 mm (P=0.68)
x
15
f (x)的物理意义:
f (x)
随机误差介于 [x,x d(x)]
小区间内的概率为：
f (x)d(x)
随机误差介于区间
-a 0 a x
(-a,a)内的概率为
a
P(a x a) f (x)d(x) a
(-a,a)为置信区间、P为置信概率 16
f (x)
满足归一化条件
总面积=1
f (x)d(x) 1
系数Gn，当已知数据个数n，算术平均值和测量列标准
偏差S，则可以保留的测量值xi的范围为
(x Gn s) xi (x Gn s)
26
• Gn系数表
n
Gn
n
3 1.38 11
4 1.54 12
5 1.65 13
6 1.73 14
7 1.80 15
8 1.86 16
9 1.92 18
10 1.96 20
真值以68%的概率落在
[9.510mm,9.520mm]区间内 28
二、不确定度简化估算方法
A类分量 ：A 多次测量用统计方法评 定的分量
A
t n
Sx
t2 n(n 1)
n i1
( xi
x)2
29
B类分量：B 用其它非统计方法评定的分量
只考虑仪器误差
测量值与真值之间可
B 仪 3 (P 68.3%)
100mg
±50mg
水银温度计 -30~300℃ 1 ℃,0.2 ℃,0.1℃ 分度值
读数显微镜
0.01mm ±0.004mm
数字式电表
最末一位的 一个单位
指针式电表
0.1, 0.2, 0.5, 1.0 1.5, 2.5, 5.0
±量程 ×a%
31
•仪器不确定度的估计
①.根据说明书
②.由仪器的准确度级别来计算
1、真值：待测量客观存在的值
真值
x (绝对)误差： x x0
测量值
相对误差:
Ex
x
x0
100%
9
• 相对误差常用百分比. 表示。它表示绝对 误差在整个物理量中所占的比重，它是 无单位的一个纯数，所以既可以评价量 值不同的同类物理量的测量，也可以评 价不同物理量的测量，从而判断它们之 间优劣。如果待测量有理论值或公认值， 也可用百分差来表示测量的好坏。即:
12
3、测量的精密度、准确度、精确度
1）精密度。表示重复测量所得数据的相互 接近程度（离散程度）。
2）准确度，表示测量数据的平均值与真值 的接近程度。
。 3）精确度。是对测量数据的精密度和准确
度的综合评定。
13
• 以打靶为例来比较说明精密度、准确度、精确度三者
之间的关系。图中靶心为射击目标，相当于真值，每
偏差：xi xi x
标准偏差：
xi2 (n )
n
标准误差
Sx
( xi x)2 n1
20
2.标准偏差的物理含义
S x的物理意义:
Sx
( xi x)2 n1
作任一次测量，随机误差落在区
间(Sx ,的S概x ) 率为 6。8.3%
P(2Sx x 2Sx ) 0.954
P(3Sx x 3Sx ) 0.997
E(x) 0.22%
不确定度有效数字保留1位,且与平
均值的最后一位对齐.
50
间接测量量数据处理举例
测得某园柱体质量M，直径D，高度H值如 下，计算其密度及不确定度。
M 236124 0 002(g) D 2 345 0 005(cm) H 8 21 0 01(cm)
51
计算密度
38
三、总不确定度的合成
总不确定度：由A类分量和B类分量按 “方、和、根”方法合 成
2A
2 B
t n
Sx 2
仪
2
39
四、测量结果表达式：
单次 x x B (单位)
多次 x x x (单位)
P? P?
40
五、间接测量量的不确定度
1、间接测量量的最佳值
直接测量量 x, y, z,的 最佳值为 x, y, z,
25
2.肖维勒准则
• 对于服从正态分布的测量结果，其偏差出现在±3S附 近的概率已经很小，如果测量次数不多，偏差超过 ±3S几乎不可能，因而，用拉依达判据剔除疏失误差 时，往往有些疏失误差剔除不掉。另外，仅仅根据少 量的测量值来计算S，这本身就存在不小的误差。因此
当测量次数不多时，不宜用拉依达判据，但可以用肖 维勒准则。按此判据给出一个数据个数n相联系的
• 倍数→ 读数+单位→数据
• 测量的要素：对象，单位，方法，准确度。
5
• 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家， 乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同 的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、 市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大 会于1960年确定了国际单位制（SI），它规定 了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎
能产生的最大误差
B 仪（P 95%）
常用仪器误差见下表