1.现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有 40 人，化学
实验做正确的有31 人，两种实验都错的有 4 人，则两种实验都做对的有()
A、27 人
B、25 人
C、19 人
D、10 人
【答案】 B
【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－ A∩ B
得 A∩ B=25，所以答案为 B。
2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中 25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100 件，其中大号白色衬衫有10 件，小号蓝色衬衫有多少件（）
A、15
B、25
C、35
D、40
【答案】 C
【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩
B，本题设小号和蓝色分别为两个事件 A 和 B，小号占 50%，蓝色占 75%，直接代入公式为： 100=50+75+10－A∩B，得： A∩ B=35。
3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有 63 人，准备参加英语六级考试的有 89 人，准备参加计算机考试的有
47 人，三种考试都准备参加的有24 人，准备只选择两种考试都参加的有46 人，
不参加其中任何一种考试的都15 人。
问接受调查的学生共有多少人（）A．120
B．144
C．177
D．192
【答案】 A
【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：
根据每个区域含义应用公式得到：
总数 =各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15
＝199－ { （ x+z+y）+24+24+24}+24+15
根据上述含义分析得到： x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只
选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y 的值为 46 人；得本题答案为120.
4.对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中 58 人喜欢看球赛， 38 人喜欢看戏剧， 52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有
12 人，则只喜欢看电影的有多少人（）
人人人人
【答案】 A
【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12，再推其
他部分数字：
根据各区域含义及应用公式得到：
总数 =各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数
100＝58+38+52－ {18+16+（ 12+ x）}+12+0, 因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
52＝ x+12+4+Y＝14+12+4+Y，得到 Y＝22 人。
5.某班统计考试成绩，数学得 90 分上的有 25 人 ; 语文得 90 分以上的有 21 人 ; 两科中至
少有一科在 90 分以上的有 38 人。
问两科都在 90 分以上的有多少人
解：设 A={ 数学成绩90 分以上的学生 }
B={语文成绩90 分以上的学生}
那么，集合A∪B 表示两科中至少有一科在90 分以上的学生，由题意知，
∣A∣ =25，∣ B∣ =21，∣ A∪ B∣ =38
现要求两科均在90 分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得
∣A∩B∣ =∣ A∣+∣ B∣ - ∣ A∪ B∣ =25+21-38=8
点评：解决本题首先要根据题意，设出集合 A， B，并且会表示 A∪ B，A∩B，再利用容斥原
理求解。
6.某班同学中有 39 人打篮球， 37 人跑步， 25 人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑
步这两项体育活动的总人数是多少
解：设 A={ 打篮球的同学};B={ 跑步的同学 }
则A∩B={既打篮球又跑步的同学 }
A∪ B={参加打篮球或跑步的同学 }
应用容斥原理∣A∪ B∣ =∣ A∣ +∣ B∣- ∣A∩B∣ =39+37-25=51( 人 )
7. 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23 人，参加语文小组的有 27 人，参加外语小组的有 18 人 ; 同时参加数学、语文两个小组的有 4 人，同时参加数学、外语小组的有7 人，同时参加语文、外语小组的有 5 人 ; 三个小组都参加的
有2 人。
问：这个年级参加课外学科小组共有多少人
解1：设 A={ 数学小组的同学 } ，B={ 语文小组的同学 } ，C={外语小组的同学 } ，A∩B={数学、语文小组的同学 } ，A∩C={参加数学、外语小组的同学 } ，B∩C={参加语文、外语小组的
同学 } ，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}
由题意知：∣A∣ =23，∣ B∣ =27，∣ C∣ =18
∣A∩B∣ =4，∣ A∩C∣ =7，∣ B∩C∣ =5，∣ A∩B∩C∣ =2
根据容斥原理二得：
∣ A∪ B∪ C∣ =∣A∣ +∣ B∣ +∣ C∣ - ∣A∩B∣ - ∣A∩C| - ∣B∩C|+|A ∩B∩C∣
=23+27+18-(4+5+7)+2
=54( 人)
山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法
解 2：利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。
设 A、B、C 分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相
交的区域，区域Ⅶ( 即 A∩B∩C)表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。
区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为4-2=2( 人 ) 。
区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5( 人 ) 。
区域Ⅴ表示仅参加语文、外语小组的同学
的集合，其人数为 5-2=3( 人 ) 。
区域Ⅰ表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为 23-2-
2-5=14( 人) 。
同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，
则参加课外小组的人数为 ;
14+20+8+2+5+3+2=54( 人)
点评：解法 2 简单直观，不易出错。
由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来
了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。
8. 某车间有工人100 人，其中有 5 个人只能干电工工作，有77 人能干车工工作，86 人能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人
解：工人总数100，只能干电工工作的人数是 5 人，除去只能干电工工作的人，这个车
间还有 95 人。
利用容斥原理，先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分，其总数为 163，然后找出这一公共部分，即163-95=68
9.某次语文竞赛共有五道题 ( 满分不是 100 分 ) ，丁一只做对了 (1) 、 (2) 、 (3) 三题得了
16 分 ; 于山只做对了 (2) 、(3) 、(4) 三题，得了25 分 ; 王水只做对了(3) 、 (4) 、(5) 三题，得了 28 分，张灿只做对了(1) 、(2) 、 (5) 三题，得了21 分，李明五个题都对了他得了多少分
解：由题意得：前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰
好是试题总分的三倍。
五人得分总和是16+25+30+28+21=120。
因此，五道题满分总和是120÷3=40。
所以李明得40 分。
10. 某大学有外语教师120 名，其中教英语的有50 名，教日语的有45 名，教法语的有
8 名既教日语又教法语，40 名，有15 名既教英语又教日语，有10 名既教英语又教法语，有有
4 名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名
解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课
的外语教师的人数。
至少教英、日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。
根据容
斥原理 , 至少教英、日、法三门课中一种的教师人数为 50+45+40-15-10-8+4=106( 人 ) 不教这三门课的外语教师的人数为 120-106=14( 人 )。