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较复杂的容斥原理
在一个明媚的春日里，聪明美丽的公主迎来了她的二十岁生日。

国王看着自己的宝贝女儿，想：要选一个什么样的人才能配得上她，做她的驸马呢？于是，国王在公主的生日晚会上宣布，要为公主选一位驸马。

所有人都知道公主要出嫁了，各国的王子纷纷派使臣来求婚。

面对众多的求婚者，国王有些难以取舍。

宰相给他出了一个主意：驸马一定要文武双全，我们可以向求婚者提出几个要求。

宰相看了礼部的统计发现，求婚者一共有35 个国家的王子，其中有25 人胸怀治国方略，28 人精通兵法，33 人熟读诗书，30 人武艺高强。

现在国王想知道，这35 名王子中至少有多少人符合所有的要求。

同学们能告诉他吗？
解决这个问题，就要用到容斥原理。

在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

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例1：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
“至少有一门得满分”就是说只有语文一门得满分的、只
有数学一门得满分的、语数双百的同学都是要求的人数。

我们可以画个图来帮助理解
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有一根180厘米长的绳子，从一端开始，每3厘米作一记号，每4厘米也作一记号，然后将作有记号的地方剪断，绳子共被剪成多少段？
例2：五年级学生在一次春游中每个人都带了饮料，其中有51人带了汽水，有48人带了可乐，有32人带了果汁，有16人带了汽水、可乐两种饮料，有11人带了可乐、果汁两种饮料，有13人带了汽水、果汁两种饮料，另外还有7人带了汽水、可乐和果汁三种饮料。

问五年级的学生有多少人？
容斥原理（1）：如果被计数的事物有A 、
B 两 类，那么，A 类或B 类元素个数= A 类元素个
数＋B 类元素个数－既是A 类又是B 类的元素
个数。

容斥原理（2）：如果被计数的事物有A 、
B 、
C 三类，那么，A 类或B 类或C 类元素个数= A 类元素个数＋B 类元素个数＋C 类
元素个数—既是A 类又是B 类的元素个数
—既是A 类又是C 类的元素个数—既是B
类又是C 类的元素个数＋既是A 类又是B
类而且是C 类的元素个数。

由于“每个人都带了饮料”，那么求“五年级的学生有多少人”就是求至少带了一种饮料的人数。

我们可以画个图来帮助理解
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五年级一班的学生都喜欢运动，每人至少爱好一种球。

其中爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14人，既爱好足球又爱好排球的有12人。

三种球都爱好的有8人，那么这个班有多少人？数学培训教材加盟合作
例3：六（1）班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的有多少人？
某年级的课外兴趣小组共有54人，分数学、语文、外语三个小组，参加数学兴趣小组的有23人，参加语文兴趣小组的有27人，参加外语兴趣小组的有18人；其中同时参加数学、外语两个兴趣小组的有7人；同时参加语文、数学兴趣小组的有4人；同时参加语文、外语兴趣小组的有5人。

问其中三个小组都参加的有多少人？
朋朋正面图 把容斥原理
（二）变形即可求出。

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例4：某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
求这个班的学生共有多少人？
六年级100名学生中，15人既不会骑自行车也不会游泳，有62人会骑自行车，75人会游泳。

问既会自行车又会游泳的有多少人？数学培训教材加盟合作
例5:边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片放在桌面上，如图，它们盖住的面积是多少平方厘米？
程程正面图 先求出至少有一个优秀的人数，再加上没有达到优秀的人数。

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在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20厘米和45厘米的正方形纸，如图。

问桌面上没被纸片盖住的面积是多少？
例6：在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。

其中6人要了汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了果汁。

问：只要一样的有几人？
六年级100名同学，每人至少爱好体育、文艺和科学三项中的一项。

其中，爱好体育的55人，爱好文艺的56人，爱好科学的51人，三项都爱好的15人，只爱好体育和科学的4人，只爱好体育和文艺的17人。

问：有多少人只爱好科学和文艺两项？只爱好体育的有多少人？
（接下来的题目有一定难度，如果课堂时间不够，可以留在课下思考。

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例7：在1～1000的自然数中，是3的倍数或是5的倍数共有多少个？不是3的倍数或是5的倍数共有多少个？
先求出1～1000中3的倍数有多少个，当成A类元素
的个数；再求出5的倍数有多少个，当成B类；最后
求出3和5的公倍数的个数，当成既是A类又是B
类的元素个数。

然后用容斥原理（一）即可。

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在1～1000的自然数中，不能被2、3、5中任何一个整除的数有多少个？。