(2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（ ）A.1222=+y xB. 12322=+y xC.13422=+y xD.14522=+y x 答案： B解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+by a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+yx . (2019全国1)16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则C 的离心率为 .答案： 2解答：由112,0F A AB F B F B =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B⊥uuu r uuu r，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，221()1tan 602b e a=+=+︒=.(2019全国1) 19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若3=，求||AB . 答案：（1）07128=+-x y ；（2）3134. 解答：（1）设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ， 联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=xy b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=，Θ3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆， ∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB . （2019全国2）8. 若抛物线)0(22>=p px y 的焦点是椭圆1322=+py p x 的一个焦点，则=p （ ） 答案：D 解答：抛物线)0(22>=p px y 的焦点是)0,2(p，椭圆1322=+p y p x 的焦点是)0,2(p ±， ∴p p22=，∴8=p .（2019全国2）11. 设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于,P Q 两点，若||||PQ OF = ，则C 的离心率为（ ） A.2 B.3 C.2 D.5 答案:A解答：∵||||PQ OF c ==，∴90POQ ∠=o, 又||||OP OQ a ==，∴222a a c +=解得2ca=，即2e =.（2019全国2）21. 已知点(2,0),(2,0)A B -，动点(,)M x y 满足直线AM 和BM 的斜率之积为12-，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .①证明：PQG ∆是直角三角形； ②求PQG ∆的面积的最大值. 答案： 见解析 解答：(1)由题意得：1222y y x x ⋅=-+-，化简得： 221(2)42x y x +=≠±，表示焦点在x 轴上的椭圆（不含与x 轴的交点）.(2) ①依题意设111100(,),(,),(,)P x y Q x y G x y --，直线PQ 的斜率为k (0)k > ，则101010101010,PG GQ y y y y y y k k x x x x x x ---+===---+，∴22 10 22 1012PG GQy yk kx x-⋅==--，又1111122GQ EQy y kk kx x x-====--，∴1PGkk=-，∴PG PQ⊥，即PQG∆是直角三角形.②直线的方程为(0)y kx x=>，联立22142y kxx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得12122121xkyk⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，则直线21111111111:()kPG y x x y x x kx x xk k k k k+=--+=-++=-+，联立直线PG和椭圆C，可得222221122224(1)2(1)(1)40x k x kx xk k k+++-+-=，则211024(1)2x kx xk++=+，∴2111012114(1)()222PQGx kS y x x kxk∆+=+=⋅+2222422218()8(1)8(1)1(2)(21)2522()5kk k k k kk k k k kk+++===++++++，令1t kk=+，则2t≥，∴2288812(2)5212PQGt tSt t tt∆===-+++，∵min19(2)2tt+=，∴max 16()9PQG S ∆=. （2019全国3）10.双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =则PFO ∆的面积为（ ）A: 4B:2C:D:答案: A 解析：由双曲线的方程22042x y -=可得一条渐近线方程为2y x =；在PFO ∆中||||PO PF =过点P 做PH 垂直OF因为tan POF=2∠得到2PO =;所以1224S PFO ∆=⨯=;故选A;（2019全国3）15.设1F、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________. 答案：)15,3(解析：已知椭圆1203622=+y x C ：可知，6=a ，4=c ，由M 为C 上一点且在第一象限，故等腰三角形21F MF ∆中8211==F F MF ，4212=-=MF a MF ,415828sin 2221=-=∠M F F ,15sin 212=∠=M F F MF y M ，代入1203622=+y x C ：可得3=M x .故M 的坐标为)15,3(. （2019全国3）21.已知曲线2:2x C y =，D 为直线12y =-上的动点.过D 作C 的两条切线,切点分别是A ,B ,（1）证明：直线AB 过定点;（2）若以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切,且切点为线段AB 的中点,求四边形ADBE 的面积. 答案：见解析； 解答：（1）当点D 在1(0,)2-时，设过D 的直线方程为012y k x =-，与曲线C 联立化简得 20210x k x -+=，由于直线与曲线相切，则有20440k ∆=-=，解得01k =±，并求得,A B 坐标分别为11(1,),(1,)22-，所以直线AB 的方程为12y =； 当点D 横坐标不为0时，设直线AB 的方程为y kx m =+（0k ≠），由已知可得直线AB 不过坐标原点即0m ≠，联立直线AB 方程与曲线C 的方程可得，22y kx mx y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，消y 并化简得2220x kx m --=，∵有两个交点∴2480k m ∆=+>， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理有，122x x k +=，122x x m =-，由已知可得曲线C 为抛物线等价于函数2()2x f x =的图像，则有()f x x '=，则抛物线在11(,)A x y 上的切线方程为111()y y x x x -=-①， 同理，抛物线在22(,)B x y 上的切线方程为222()y y x x x -=-②， 联立①，②并消去x 可得122112y y y y x x x x ---=-， 由已知可得两条切线的交点在直线12y =-上，则有 22122112112222x x x x x x -----=-，化简得，12212112(1)()2x x x x x x x x --=-，∵0k ≠，∴12x x ≠，即1212112x x x x -=，即为2114m m --=-，解得12m =，经检验12m =满足条件，所以直线AB 的方程为12y kx =+过定点1(0,)2， 综上所述，直线AB 过定点1(0,)2得证.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y kx =+，当0k =时，即直线AB 方程为12y =，此时点D 的坐标为1(0,)2-， 以5(0,)2E 为圆心的圆与直线AB 相切于1(0,)2F 恰为AB 中点，此时1123322ADBE S AB ED =⋅=⨯⨯=；当0k ≠时，直线AB 方程与曲线方程联立化简得2210x kx --=，122x x k +=，121x x =-，21221y y k +=+，则AB 中点坐标为21(,)2H k k +，由已知可得EH AB ⊥，即2152210EH k k k k k +-⋅=⋅=--， 解得，1k =±，由对称性不妨取1k =，则直线方程为12y x =+， 求得D 的坐标为1(1,)2-，4AB =，E 到直线AB距离1d ==D 到直线AB距离2d ==则121122ADBE S AB d AB d =⋅+⋅=， 综上所述，四边形ADBE 的面积为3或（2019北京）4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式. 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =, 故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识基本运算能力的考查.（2019北京）18.已知抛物线C ：x 2=2py 经过点（2，1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点． 【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（2019天津）5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。