第四节 指数与指数函数突破点一 指数幂的运算[基本知识]1．根式 (1)根式的概念若x n＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(2)a 的n 次方根的表示x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a当n 为奇数且n >1时，x ＝±n a当n 为偶数且n >1时.2．有理数指数幂幂的有关概念正分数指数幂：am n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1) 负分数指数幂：a－m n＝1am n＝1na m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义有理数指数幂的性质a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q)(a r )s ＝a rs(a ＞0，r ，s ∈Q) (ab )r ＝a r b r(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)4－a4＝－a .( )(2)(－a )24＝(－a )12＝－a .( ) (3)(na )n＝a .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 二、填空题1．计算：π0＋2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21412＝________.答案：1182．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是________．解析：a 2a ·3a 2＝a 2a ·a23＝a 2a53＝a 2a51×32＝a 2·a-56＝a-526＝a 76.答案：a 763．若2a －12＝31－2a3，则实数a 的取值范围为________． 解析：2a －12＝|2a －1|，31－2a3＝1－2a .因为|2a －1|＝1－2a . 故2a －1≤0，所以a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12指数幂的运算规律(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[典例] (1)a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a1710(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2 350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2 14-12－(0.01)0.5＝________. [解析] (1)a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a45＝a143--25＝a1710.故选D.(2)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. [答案] (1)D (2)1615[方法技巧]化简指数幂常用的技巧(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b p (ab ≠0)； (2)a ＝()a 1mm，an m＝(a 1m)n(式子有意义)；(3)1的代换，如1＝a －1a,1＝a -12a 12等；(4) 乘法公式的常见变形，如(a 12＋b 12)(a 12－b 12)＝a －b ，(a 12±b 12)2＝a ±2a 12b 12＋b ，(a 13±b 13)(a 23∓a 13b 13＋b 23)＝a ±b .[针对训练]1．化简a 23·b－1-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD.1a解析：选D 原式＝a1-3b 12a -12b13a 16b56＝a1611---32·b115+-236＝1a.2．(2019·江西百校联盟联考)已知14a ＝7b ＝4c＝2，则1a －1b ＋1c＝________.解析：由题设可得21a ＝14,21b ＝7,21c＝4， 则2-11a b＝147＝2， ∴2-+111a b c＝2×4＝23，∴1a －1b ＋1c＝3.答案：33．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x-12(x －x 12)＝________.解析：因为x >0，所以原式＝(2x 14)2－(332)2－4x -12·x ＋4x-12·x 12＝4x⨯124－33×22－4x-1+12＋4x-11+22＝4x 12－33－4x 12＋4x 0＝－27＋4＝－23.答案：－23突破点二 指数函数的图象及应用[基本知识]1．指数函数的图象 函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)0<a <1a >1图象图象特征在x 轴上方，过定点(0,1)当x 逐渐增大时，图象逐渐下降当x 逐渐增大时，图象逐渐上升画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，1a . 3．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)y ＝2x －1是指数函数．( )(2)y ＝ax ＋1的图象恒过定点(－1,1)．( )(3)要得到y ＝3x ＋2的图象只需将y ＝3x的图象向左平移2个单位即可．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、填空题 1．函数y ＝ax －3＋3(a >0，且a ≠1)的图象过定点________．解析：因为指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y ＝a x －3＋3中，令x －3＝0，得x ＝3，此时y ＝1＋3＝4，即函数y ＝ax －3＋3的图象过定点(3,4)．答案：(3,4) 2．函数y ＝2x ＋1的图象是________(填序号)．解析：由y ＝2x 的图象向左平移1个单位可得y ＝2x ＋1的图象．答案：①3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －4x 的图象与指数函数y ＝a x 的图象关于y 轴对称，则实数a 的值是________．解析：由两函数的图象关于y 轴对称，可知12a －4与a 互为倒数，即a2a －4＝1，解得a＝4.答案：4[全析考法]考法一 与指数函数有关的图象辨析[例1] (2019·河北武邑中学调研)函数y ＝e －|x －1|的大致图象是( )[解析] 因为－|x －1|≤0，所以0<e －|x －1|≤e 0，即0<y ＝e－|x －1|≤1，故选B.[答案] B考法二 指数函数图象的应用一些指数方程、不等式问题，往往利用相应指数型函数的图象数形结合求解．[例2] (2019·西安八校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f (x －1)>1的x 的取值范围是________．[解析] 画出函数f (x )的大致图象如图所示，易知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．又x >x －1，且x －(x －1)＝1，f (0)＝1， 所以要使f (x )＋f (x －1)>1成立， 结合函数f (x )的图象知只需x －1>－1， 解得x >0.故所求x 的取值范围是(0，＋∞)． [答案] (0，＋∞)[方法技巧]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，排除C.2.[考法二]函数y ＝a x－b (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)D ．无法确定解析：选C 因为函数y ＝a x－b 的图象经过第二、三、四象限，所以函数y ＝a x－b 单调递减且其图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1－b <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b >1，故a b∈(0,1)，故选C.3.[考法二]若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________． 解析：曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1,1]．答案：[－1,1]突破点三 指数函数的性质及应用[基本知识]指数函数的性质函数 y ＝a x (a >0，且a ≠1)0<a <1a >1性质定义域 R 值域(0，＋∞)单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数函数值变化规律当x ＝0时，y ＝1当x <0时，y >1；当x <0时，0<y <1；当x >0时，0<y <1当x >0时，y >1(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意分a >1与0<a <1两种情况来研究．(2)对可化为a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当x >0时，y >1.( )(2)若指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值为2，则a 为 2.( ) (3)若a m>a n(a >0，且a ≠1)，则m >n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、填空题1．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x的单调递增区间为________．答案：(－∞，＋∞)2．若－1<x <0，a ＝2－x，b ＝2x ，c ＝0.2x，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：因为－1<x <0，所以由指数函数的图象和性质可得：2x <1,2－x >1,0.2x>1，又因为0.5x <0.2x，所以b <a <c .答案：b <a <c 3．函数y ＝3x 2－2x 的值域为________．解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞[全析考法]考法一 比较指数式大小或解不等式[例1] (1)已知f (x )＝2x－2－x，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79-14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] (1)易知f (x )＝2x－2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79-14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b >0，c＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )．(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －7<1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <8，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)． [答案] (1)B (2)C[方法技巧]有关指数不等关系的常见题型及求解思路(1)比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法二 与指数函数有关的函数最值问题[例2] (2019·昆明第一中学月考)已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x－ 2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4[解析] 由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.[答案] D [方法技巧]形如y ＝a 2x＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题多用换元法，即令t ＝a x转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围．考法三 与指数函数有关的函数单调性问题[例3] (1)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2](2)若函数f (x )＝a x(a x－3a 2－1)(a >0，且a ≠1)在区间[0，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 C ．(1， 3 ]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] (1)由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B.(2)令t ＝a x (t >0)，则原函数转化为y ＝t 2－(3a 2＋1)t ，其图象的对称轴为直线t ＝3a 2＋12. 若a >1，则t ＝a x≥1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数， 则3a 2＋12≤1，解得－33≤a ≤33，与a >1矛盾；若0<a <1，则0<t ≤1，由于原函数在区间[0，＋∞)上是增函数，则3a 2＋12≥1，解得a ≥33或a ≤－33，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选B.[答案] (1)B (2)B [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用．[集训冲关]1.[考法一]已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >cB ．b >a >c11 C ．c >b >aD ．c >a >b 解析：选D a ＝0.80.7>0.80.9＝b ，a ＝0.80.7<0.80＝1，∴b <a <1，而c ＝1.20.8>1.20＝1，∴c >a >b .2.[考法二]函数y ＝16－2x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4) 解析：选C 函数y ＝16－2x 中，因为16－2x ≥0，所以2x ≤16.因为2x ∈(0,16]，所以16－2x ∈[0,16)．故y ＝16－2x∈[0,4)．故选C. 3.[考法三]函数f (x )＝⎝ ⎛⎪⎫12的单调递增区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选D 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故选D.4.[考法一、三]已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是______________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a|x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．答案：f (－4)>f (1)。