《高等数学（二）》期末复习题一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （B ）(24,4)--，2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为（C ） 圆 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=I = (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、设的弧段为：230,1≤≤=y xL ，则=⎰L ds 6（A ）9 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 (B) 条件收敛 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 1),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是 (D)以上结果都不对7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-110d ),(d xy y x f x 等于 (B)⎰⎰-110d ),(d y x y x f y8、方程222zx y =+表示的二次曲面是（A ）抛物面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（B ） 充分条件10、设平面曲线L 为下半圆周21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰(C) π11、若级数1n n a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛12、二重积分的值与（C ）函数f 及区域D 有关；13、已知→→b a //且 ),2,4,(),1,2,1(-=-=→→x b a 则x =（B ） 214、在空间直角坐标系中，方程组2221z x y y ⎧=+⎨=⎩代表的图形为 (B 双曲线15、设)arctan(y x z +=，则y z∂∂= (B)2)(11y x ++16、二重积分⎰⎰1102),(y dxy x f dy 交换积分次序为（A ⎰⎰x dy y x f dx 010),(17、若已知级数∑∞=1n nu 收敛，n S 是它的前n 项之和，则此级数的和是 (C)n n S ∞→lim18、设L 为圆周：216x y +=，则曲线积分2LI xyds =⎰的值为 (D) 0二、填空题1、0lim 11x y xy xy →→=+- 2 2、二元函数 (23)zsin x y =+，则zx∂=∂ 2cos(23)x y + 3、积分σd eI y x y x ⎰⎰≤++=42222的值为)1(4-e π4、若→→b a , 为互相垂直的单位向量， 则=⋅→→b a 05、交换积分次序210(,)x dx f x y dy =⎰⎰110(,)ydy f x y dx ⎰6、级数111()23n n n ∞=+∑的和是3 27、0024limx y xy xy →→-+14-8、二元函数 (23)zsin x y =+，则zy∂=∂ 3cos(23)x y + 9、设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰xxdy y x f dx 2),(10⎰⎰y ydx y x f dy),(1010、设曲线L ：222x y a +=，则(2sin 3cos )Lx y x ds +=⎰ 011、若级数11()nn u∞=+∑lim n n u →∞= -112、若22(,)f x y x y x y +-=-则 (,)f x y = xy13、0011lim x y xy xy→→-+=12-14、已知→→⊥b a且 ),1,,0(),3,1,1(-==→→x b a 则x = 315、设),ln(33y x z+=则=)1,1(dz3322dx dy +16、设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰y y dx y x f dy 2),(10⎰⎰x xdy y x f dx ),(1017、,1s u n n =∑∞=级数∑∞=++11)(n n n u u 的和是则级数12S u -18、设L 为圆周：222R y x =+，则曲线积分sin LI x yds =⎰的值为 0三、解答题1、（本题满分12分）求曲面23zz exy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程。

解：设(,,)23z F x y z e xy =-+-则2x F y=2y F x=，1z z F e =-对应的切平面法向量(1,2,0)(,,)x y z n F F F →= 代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0） 则切平面方程：4(1)2(2)0(0)0x y z -+-+-=或240x y +-=2、计算二重积分⎰⎰Dyxdxdy e，其中D 由y 轴及开口向右的抛物线解 ：21xxyyy Dedxdy dy e dx =⎰⎰⎰⎰2100y x yyedy ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰1y (ye y )dy=-⎰ 1202y y y ye e ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦12= 2y x =和直线1y =围成的平面区域。

3、（本题满分12分）求函数2(234)uln x y z =++的全微分du 。

解：因为22234u x x y z ∂=∂++ ，23234u y x y z ∂=∂++ ，28234u z z x y z ∂=∂++u u u du dx dy dzx y z∂∂∂=++∂∂∂所以222238234234234zdu dx dy dzx y z x y z x y z =++++++++4、（本题满分12分）证明：函数242,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点（0，0）的两个偏导数存在，但函数(,)f x y 在点（0，0）处不连续。

解：=∆-∆+=→∆xf x f f x x )0,0()0,0(lim )0,0(000lim 0=∆→∆x x同理0)0,0(=y f 所以函数在（0，0）点两个偏导数存在。

=→=),(lim 02y x f x kx y 24242201lim k kx k x kx x x +=+⋅→ ),(lim 00y x f y x →→∴不存在 因此函数在（0，0）点不连续5、（本题满分10分）用比较法判别级数∑∞=+1)12(n nn n 的敛散性。

解： n n n n n n n )21()2()12(=<+ ，而∑∞=1)21(n n 是收敛的等比级数 ∴原级数收敛6、（本题满分12分）求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的法线方程。

解：设222(,,)14F x y z x y z =++-则2x F x =，2y F y = ，2z F z = 对应的法向量 (1,2,3)(,,)x y z n F F F →=代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6） 则法线方程：123123x y z ---== 7、计算⎰⎰+=Dyx y x I d d )(22，其中}41),{(22≤+≤=y x y x D 。

解：⎰⎰⋅=πρρρθ20212d d I 421241=π⋅ρ 152=π8、力{},,F x y x =-的作用下，质点从(0,0,0)点沿22x t L y t z t⎧=⎪==⎨⎪=⎩ 移至(1,2,1)点，求力F 所做的功W。

→→⋅=⎰s d F W L⎰+-=Lxdz ydy xdx⎰+-=1224dt t tdt tdt 120(23)t t dt =-⎰ 65-= 9、（本题满分12分）计算函数sin()u x yz =的全微分。

x u sin yz '=，y u xz cos yz '=z u xy cos yz'=x y z du u dx u dy u dz'''∴=++sin()cos()cos()yz dx xz yz dy xy yz dz =++10、（本题满分10分）求级数11(1)n n n ∞=+∑的和。

解：111(1)1n n n n =-++111...1223(1)n S n n ∴=+++⨯⨯+11111(1)()...()2231n n =-+-++-+ 111n =-+1lim lim(1)11n n n S n →∞→∞∴=-=+ 所以级数11(1)n n n ∞=+∑的和为111、求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程。

解：设222(,,)14F x y z x y z =++-则2x F x =，2y F y = ，2z F z = 对应的切平面法向量 (1,2,3)(,,)x y z n F F F →=代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6）则切平面方程：2(1)4(2)6(3)0x y z -+-+-=或23140x y z ++-=12、（本题满分12分）设）（22ln y xy x z++=,求yzy x z x ∂∂⋅+∂∂⋅。

解：因为222222y xy x yx y z y xy x y x x z +++=∂∂+++=∂∂；所以 2222222=+++++=∂∂⋅+∂∂⋅yxy x y xy xy x y z y x z x13、求22(1)d d Dx y x y --⎰⎰其中D是由y x=，y =，221x y +=在第一象限内所围成的区域。

解：令cos sin x y ρϕρϕ=⎧⎨=⎩，则(,)0,014D πρϕϕρ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭， 所以122240(1)(1)Dx y dxdy d d πϕρρρ--=-⎰⎰⎰⎰16π=14、（本题满分12分）一质点沿曲线⎪⎩⎪⎨⎧===20t z t y x 从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程中，力k j y i x F +-+=41所作的功W。

→→⋅=⎰s d F W Lydy dz=-+⎰1(2)t t dt=-+⎰ 10tdt =⎰12=15、（本题满分10分）判别级数11sin n n n ∞=∑ 的敛散性。

解： 设1sinnu n n= 于是 1sinlim lim101n n n n u n→∞→∞==≠故un n =∞∑1发散。