2011 学年第一学期《高等数学（ 2-1 ）》期末模拟试卷专业班级姓名学号开课系室考试日期高等数学2010 年 1 月11 日页号一二三四五六总分得分阅卷人注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100 分；试卷本请勿撕开，否则作废.本页满分 36 分本页得一．填空题（共5 小题，每小题 4 分，共计 20 分）分1lim( exx) x 2 .1． x 01x 2005 exexdxx 12．1.x y t 2dy3．设函数yy( x) 由方程e dt xx 01确定，则 dxxtf (t)dtf (x)4. 设f x1 ，则 f x可导，且1， f (0).5．微分方程y4 y 4 y的通解为.二．选择题（共 4 小题，每小题 4 分，共计 16 分）.f ( x) ln xx k 1．设常数 ke 0 ，则函数在 ( 0,(A) 3 个;(B) 2 个 ;(C) 12． 微分方程y4y 3cos2 x 的特解形式为（（ A ） yAcos2 x ;（ B ）y（ C ）yAx cos2 x Bx sin 2x ;（ D ） y *3．下列结论不一定成立的是（） .)内零点的个数为（个 ; (D) 0 个 .） .Ax cos2x ;A sin 2x .） .d b x dx（ A ）若c, da,b, 则必有f x dxf ;cabx dx0 （B ）若f (x)0 在 a,bf 上可积 , 则 a;a TT （ C ）若f x是周期为 T 的连续函数 , 则对任意常数 a 都有af x dxxt dt（D ）若可积函数t ff x为奇函数 , 则 0也为奇函数 .1f 1 e xx14. 设2 3e x, 则 x 0 是f ( x)的（）.(A)连续点 ;(B) 可去间断点 ;(C)跳跃间断点 ;(D)无穷间断点 .f x dx;三．计算题（共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）本页满分12 分本页得23x2x e dx分1．计算定积分0.x sin x dx2．计算不定积分cos5 x.本页满分12 分本页得x a(t sin t ),t分3．求摆线y a(1cost ), 在 2 处的切线的方程.F ( x)x t )dtcos(x24. 设0，求F ( x) .本页满分15 分本页n (n 1)(n2)(n 3)( 2n)得x nn lim x n分5．设，求n.四．应用题（共 3 小题，每小题 9 分，共计 27 分）1．求由曲线y x 2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.本页满分18 分本页2．设平面图形D由x2y22x 与yx所确定，试求 D 绕直线x 2得分旋转一周所生成的旋转体的体积.3.设 a 1, f (t)a t at 在 ( ,)内的驻点为t (a).问 a 为何值时t(a)最小?并求最小值 .本页满分 7 分本页五．证明题（ 7 分）得f (x)在 [0,1]上 连 续 ， 在(0,1)分设 函 数 内 可 导 且f (0)= f (1) 0, f ( 1) 1，2试证明至少存在一点(0,1) , 使得 f ()=1.一．填空题（每小题4 分，5 题共 20 分）：11lim( e x x) x 2e 21．x.1x 1 x 2005e x e x dx41 2．e .x yt 2dy3．设函数yy( x) 由方程1e dtx确定，则 dxx 0e1.xtf (t) dtf ( x)1 x 24. 设fx1，则 f xe 2 .可导，且1， f (0)5．微分方程y4 y4 y的通解为y(C 1 C 2 x)e2 x.二．选择题（每小题4 分， 4 题共 16 分）：f ( x) ln xx k( 0,)内零点的个数为（1．设常数 ke0 ，则函数在 B） .(A) 3 个 ; (B) 2 个 ;(C) 1 个 ; (D) 0 个 .2． 微分方程y4 y 3cos2x 的特解形式为（C ）（ A ） yAcos2x ；（ B ）yAxcos2 x ；（ C ）yAxcos2 xBx sin 2x ；（ D ） y *A sin 2x3．下列结论不一定成立的是（ A ）dx dxbf x dx(A) (A) 若 c,d a,b , 则必有fca;bf x dx0 (B) (B)若 f ( x)0 在 a, b 上可积 , 则 a;(C) (C)若fx是 周 期 为 T 的 连 续 函 数 , 则 对 任 意 常 数 a都 有a Tx dxT x dxa ff;xt dt(D) (D)若可积函数fxt f为奇函数 , 则 0也为奇函数 .1f x1 e x14. 设2 3ex, 则x0 是f ( x)的（ C） .(A)连续点 ;(B) 可去间断点 ;(C)跳跃间断点 ;(D)无穷间断点 .三． 计算题 （每小题 6 分， 5 题共 30 分）：1．计算定积分0 2x 3 e x 2dx .2 t , 则23 x 22 1 t1 2 t设 xx edxte dt2tde-------2解：10 2te t 2 2 t2 0e dt-------2e 21e t 21 3e 2222--------2x sin x dx2．计算不定积分cos 5 x .x sin x 1 xd ( 1 ) 1x dx5 dx 4 4 4 44解：cos xcos x cos x cos x--------3x 1 (tan 2 x 1) d tan x 4 cos 4 x 4x 1 tan 3 x 1 tan x C4 cos 4 x 12 4-----------3x a(t sin t ),tya(13．求摆线cost ), 在2 处的切线的方程 .(a( 1), a)解：切点为2 -------2kdya sin tdx ta(1cost) t1 -------222y a x a(1)y x ( 2)a 切线方程为2即2 . -------2F (x)xcos(x2t )dt，则 F ( x)2x cos x 2(2x1) cos( x 2x) .4. 设x nn(n 1)(n 2)( n 3) (2n)lim x nn.5．设，求 nln x n1 n ln(1 i )解：n i 1 n---------2lim ln x nlim nln(1i ) 1 1 x) dxln(1 nni 1n n--------------2x ln(1x) 10 1x 1dx 2 ln 2 1------------2=1 xlim x ne 2 ln 2 1 4故 n= e四．应用题（每小题 9 分， 3 题共 27 分）1．求由曲线yx2与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积 .解：y1x设切点为（x, y 0 )，则过原点的切线方程为2 x 0 2 ，（ x 0 , y 0 )在切线上，带入切线方程，解得切点为x 04, y 02.-----3由于点yx过原点和点(4, 2)的切线方程为 22-----------------------------3s22 22 20 ( y 22 y) dy3面积=-------------------3s2141 x2 2xdx(x2) dx3或222222．设平面图形 D 由 x2y22 x 与 yx所确定，试求 D 绕直线 x2 旋转一周所生成的旋转体的体积 .解： 法一：VV 1 V 211 y 221 2dy2 (1) dy(2 y ) 011 y2( y 1)2dy26-------21 1)312 (14 ( y 0)34 3--------321 x)( 2xx2x)dx( 2法二： V=21x) 2 x x 2dx 2 1 x 2)dx(2(2x------------------ 5(2 2x) 2 x x 22 2 x x 2 dx4 132(2x x 2) 23 12 114 30 4 32 1 24 1 2232323------------- 43. 设a1, f (t ) a tat 在 (,) 内的驻点为 t( a). 问 a 为何值时 t(a) 最小 ? 并求最小值 .由 f (t)a t ln a a 0得 t( a) 1 ln ln a .解:ln a --------------- 3又由 t (a)ln ln a 1 0得唯一驻点 a e ea(ln a) 2 ------------3当 ae e 时 , t (a) 0;当 a e e 时 , t (a) 0,于是 a e e 为 t (a)的极小值点 . -----2ae e 为 t (a)的最小值点 ,最小值为 t (e e )1 ln e1 1 .故ee --------------1五．证明题（ 7 分）设函数 f ( x) 在 [0,1]上连续，在(0,1)f (0)= f (1) 0, f ( 1) 1，内可导且2试证明至少存在一点(0,1) , 使得 f ()=1.证明：设F (x)f (x)x ， F ( x) 在 [0,1] 上连续在 (0,1) 可导，因 f (0)= f (1)=0 ,有 F (0)f (0) 0 0, F (1) f (1) 1 1,--------------- 21F ( 1 1 1 1 1 ， [ 1 ，f ( )=1 )= f ( )- =1- = 1]又由 2 ，知 2 2 2 2 2 在2 上 F ( x) 用零点定理， 1 1 0F (1)F ( )=-根据 2 2 ， --------------- 2( 1 ，F ( )=0 ，( 1 (0,1)1),1)可知在 2 内至少存在一点，使得2,F (0)= F ()=0由 ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,) (0,1) 使得F ()=0 即 f ( )1=0，证毕 . --------------3。