x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。

9. 已知 L 是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分，则 a 等于 （）.A -1B 1C 2D -2⎰Lxdx - aydy = 0x 2 + y 210. 若 L 为连接(1,0) 及(0,1) 两点的直线段，则曲线积分⎰L (x + y )ds =（）A ．0B.1C. D.211.设 D 为 x 2 + y 2 ≤ 2 y , 则⎰⎰ f (x 2 + y 2 )dxdy = （）D1⎰ ⎰⎩2A. ⎰0dy ⎰0 f (x 2 + y 2)dx ； B. 0 d ⎰0f (r 2 ) rdr ；2 sinC. df (r 2) rdr ；D. ⎰ dx ⎰ f (x 2 + y 2 )dy .12. 微分方程e x ( y ' + y ) = 1 的通解为（）A. ye x = c ；B. ye -x = x + c ；C. y = (x + c )e -x ；D. y = cxe -x13.（ ）是微分方程 y ' + y ' = e -x 在初始条件 y x =0 = 1, y ' x =0 = -1下的特解.A. y = c - c xe -x ；B. y = -xe -x ；C. y = 1- 2xe -x ；D. y = 1- xe -x .12三、计算题：1. 设 z = f (e x sin y , x 3 + y 3 ) ，求∂z及∂z，其中 f 具有一阶连续偏导数. ∂x ∂y⎧x + y = u + v 2. 设⎨x sin v = y sin u ， 求 ∂u ， ∂v ∂x ∂x3. 求旋转抛物面z = x 2 + y 2 -1 在点(2,1,4) 处的切平面及法线方程。

4．求函数 f (x , y ) = x 3 - y 3 + 3x 2 + 3y 2 - 9x 的极值2 y - y 22 ⎰12-1 0⎰5. 计算⎰⎰D半闭区域.xy 2dxdy ，其中 D 是由圆周 x 2 + y 2 = 4 及 y 轴所围成的右6. 计算⎰⎰D形闭区域.e - y 2dxdy ，其中 D 是以 O （0,0），A （1,1），B （0,1）为顶点的三角7. 计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω 是三个坐标面与平面 x + y + z = 1 所围成的区域.8. 计算 (2x - y + 4)dx + (3x + 5 y -13)dy ，其中 L 为圆 x 2 + y 2 = 25 的正向边界。

L9. 计 算曲线积分( y 3 + x )dy + (x 3+ y )dx ,L其中 L 是从 O(0, 0)沿 上半圆x 2 + y 2 = 2x 到 A(2, 0).⎰10.验证：在整个xoy 面内，4sin x sin 3y cos xdx - 3cos3y cos 2xdy 是某个函数的全微分，并求出这样的一个函数.11.求微分方程(x2+1) y'+ 2xy = 4x2的通解.12.求解微分方程的特解：( y2- 3x2 )dy + 2xydx = 0, y(0) = 113.解微分方程yy'- ( y')2+ ( y')3= 0.四、应用题：1.用钢板制造一个容积为 V 的无盖长方形水池，应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.2.已知矩形的周长为 24cm，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积.x 2 + y 2 4 ⎰ ⎰ 10 3. 求抛物线 y 2 = 4x 与曲线y = 2x 所围成的闭区域的面积.4. 求抛物面 z = 6 - x 2 - y 2 与锥面 z = 所围成的立体的体积.一、填空题：高等数学 2 期末复习题答案1、{(x , y ) 1 ≤ x 2+ y 2< 3}2、(1+ x ) yln(1+ x )3、 1 dx + 2 dy3 34、 x 2- 2 y ;x 2 (1- y ) 1+ y5、e xy[x sin(x + y ) + cos(x + y )]6、1+ 2 （注：方向导数∂f∂l = ( x 0 , y 0 )f x (x 0 , y 0 ) c os+ f y (x 0 , y 0 ) cos）7、⎰0 dx ⎰x 2f (x , y )dy ； 0 1+ x-1 dx 0f (x , y )dy + ⎰0 dx ⎰0f (x , y )dy8、 4 （注： ⎰ xydx = ⎰ x (- x )dx + ⎰1 x xdx = 4 ） 9、 y2 (1+ e 2x ) = C 5 L 1 0 5二、选择题：1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; 10.C; 11. C; 12.C; 13.D 三、计算题：1. 解：令u = e x sin y , v = x 3 + y 3 ，则3 1- x 2x1 J 1 J ⎪ ⎪ ⎨ ∂z = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v = ∂z e x sin y + ∂z 3x2 = e x sin y ⋅ f ' + 3x 2 ⋅ f ' ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂v 1 2∂z = ∂z ⋅ ∂u + ∂z ⋅ ∂v = ∂z e x cos y + ∂z3y 2 = e x cos y ⋅ f ' + 3y 2 ⋅ f '∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂u ∂v 1 22. 解：两方程分别两边对 x 求偏导数，注意u , v 是关于 x , y 的二元函数，得 ⎧1 = ∂u + ∂v ⎧∂u + ∂v = 1⎪ ∂x ∂x 即 ⎪ ∂x ∂x⎨ ∂v sin v + x cos v = y cos u ∂u ⎨∂u y cos u- x cos v ∂v = sin v ⎩⎪ ∂x ∂x ⎪⎩ ∂x ∂x 这是以∂u , ∂v为未知量的二元线性方程组。

∂x ∂x 1 1当 J = y cos u -x cos v= -(x cos v + y cos u ) ≠ 0 时，有∂u = 11 =x cos v + sin v ， ∂x sin v -x cos v x cos v + y cos u∂v = 11 = - sin v - y cos u ∂x y cos u sin v x cos v + y cos u3. 解：旋转抛物面 z = x 2 + y 2 -1 在点(2,1,4) 处的切向量n = (2x , 2 y , -1) (2,1,4) = (4, 2, -1)于是，所求切平面方程为 4(x - 2) + 2( y -1) - (z - 4) = 0 ，即 4x + 2 y - z - 6 = 0法线方程为 x - 2 = y -1 = z - 4⎧∂f 4. 解：解方程组⎪∂x∂f 4 2 -1 = 3x 2+ 6x - 9 = 0 ，⎪ = -3y 2 + 6 y = 0⎪⎩ ∂y得四个驻点 P 1 (1, 0), P 2 (1, 2), P 3 (-3, 0), P 4 (-3, 2) .又f x 'x' = 6x + 6, f x 'y ' = 0, f y 'y = -6 y + 6 .2对 P (1, 0), AC - B 2 > 0, 且 A > 0 ,则 P (1, 0) 是函数的极小值点；11对 P (1, 2), AC - B 2 < 0 ,则 P (1, 2) 不是极值点；22对 P (-3, 0), AC - B 2 < 0 ,则 P (-3, 0) 不是极值点；33对 P (-3, 2), AC - B 2 > 0 ,且 A < 0 ,则 P (-3, 2) 是函数的极大值点.44于是，函数有极小值 f (1, 0) = 1+ 3 - 9 = -5 ，极大值 f (-3, 2) = -27 - 8 + 27 +12 + 27 = 31.5. 解：利用极坐标变换，令 x = r cos , y = r sin ，则dxdy = rdrd ，且 D 可表 示为： 0 ≤ r ≤ 2,⎰⎰D- ≤≤ .于是2 2⎰⎰D⎰0 ⎰xy 2dxdy =r c os ⋅ r 2 s in2⋅ r drd =r 4dr 2 cossin 2d- 2= 1r 5 2⋅ 1sin 32=64 . 5 0 31526. 解：三角形区域 D 由直线 y = x , y = 1 及 y 轴围成，选择先对 x 积分，⎰⎰e - y2dxdy = ⎰1 dy ⎰ye - y2dx = ⎰1 ye - y2dy = - 1 e - y 2 = 1(1- e -1) .D2 02 （注：此题也可以参看课本 167 页例 2 的解法）7. 解题过程见课本 124 页例 1.8. 解： P (x , y ) = 2x - y + 4, Q (x , y ) = 3x + 5 y -13 在L 围成的圆域D: x 2 + y 2 ≤ 25 上全在连续的偏导数， ∂P = -1, ∂Q = 3 ，从而 ∂Q - ∂P= 4 .于是由格林公式，得∂y ∂x ∂x ∂y⎰L(2x - y + 4)dx + (3x + 5 y -13)dy = ⎰⎰D4dxdy = 4⎰⎰D dxdy = 4⋅ 25 = 100.- 1⎰ =⎰- x y y9. 解： P (x , y ) = x 3+ y ,Q (x , y ) = y 3 + x ，有 ∂P = 1 = ∂Q在整个 xoy 平面上恒成∂y ∂x立，所以曲线积分与路径无关，故可取 x 轴上线段 OA 作为积分路径.OA 的方程为 y = 0 ，且 x 从 0 变到 2， dy = 0 ，从而( y 3 + x )dy + (x 3+ y )dx = LOA(y 3 + x )dy + (x 3 + y )dx= ⎰2x 3dx = 1x 4= 4 .10. 解： P (x , y ) = 4 s in x sin 3y cos x ,Q (x , y ) = -3cos 3y cos 2x ，有∂P = 4 sin x cos x ⋅ 3cos 3y = 6 sin 2x cos 3y ，∂y∂Q = -3cos 3y ⋅ 2(-sin 2x ) = 6 sin 2x cos 3y ，∂x即 有 ∂P = ∂Q在 整 个 xoy 平 面 上 恒 成 立 ， 因 此 在 整 个 xoy 面 内 ，∂y ∂x4sin x sin 3y cos xdx - 3cos3y cos 2xdy 是某个函数的全微分.取 ARB 为积分路径，其中各点坐标分别为 A (0, 0), R (x , 0), B (x , y ) ，得( x , y )u (x , y ) (0,0)4 s in x sin 3y cos xdx 3cos 3y cos 2xdy= ⎰AR 4 s in x sin 3y cos xdx - 3cos 3y cos 2xdy + ⎰RB 4 sin x sin 3y cos xdx - 3cos 3y cos 2xdy= ⎰0 0dx + ⎰0 -3cos 3y cos 2xdy = -3cos 2x ⎰0 cos 3ydy= -3cos 2x ⋅ 1sin 3y 3 0= -sin 3y cos 2x .11. 解法一：方程可改写为 y ' + 2x y = x 2+1 4x 2x 2 +1，这是一阶非齐次线性微分方程. ⎰24 y⎰ 2 ⎰ 2 先求对应的齐次线性方程的通解.由 y ' + 2x y = 0 ， 分离变量， 得 dy = - 2xdx ， 两边积分， 解得y =C 1.x 2+1x 2 +1 y x 2 +1用 常 数 变 易 法 ， 将 C 1 换 成C (x ) .即 y =C (x ) ，x 2+1y ' =1C '(x ) - 2xC (x ) . x 2 +1 (x 2 +1)2代入原方程，化简得 C '(x ) = 4x 2 .故C (x ) = 4 x 3+ C . 3 于是方程的通解为 y =1 4 3+ C ) .x 2 +1 ( 3 x解法二：方程可改写为y ' + 2x y = x 2 +1 4x 2. x 2 +1这是一阶非齐次线性微分方程，其中 P (x ) = 2x x 2 +1 , Q (x ) = 4x 2x 2 +1.利用通解公式y = e -⎰ P ( x )dx(⎰ Q (x )e ⎰ P ( x )dxdx + C ) = e - 2 x dxx+1 (⎰ 4x 2 2 2 x dx e x +1 dx + C ) =14x 22x +114 3x 2+1[⎰ x 2 +1 ⋅ (x +1)dx + C ] = ( x x 2 +1 3+ C ) .12. 课本 212 页第 8 题第（1）小题。