高等数学试题
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．设，且函数的反函数，则（）f(x)=l nxϕ(x)1
ϕ-
2(x+1)
(x)=
x-1
[]
ϕ=
f(x)
....
A B C D
x-2x+22-x x+2
l n l n l n l n
x+2x-2x+22-x
2．（ ）
()
2
lim
1cos
t t
x
x
e e dt
x
-
→
+-
=
-
⎰
A．0 B．1 C．-1 D．∞
3．设且函数在处可导，则必有（）
00
()()
y f x x f x
∆=+∆-()
f x
x x
=
.lim0.0.0.
x
A y
B y
C dy
D y dy
∆→
∆=∆==∆=
4．设函数，则在点处（）
,1
31,1
x
x x
⎧≤
⎨
->
⎩
2
2x
f(x)=f(x)x=1
A.不连续
B.连续但左、右导数不存在
C.连续但不可导
D. 可导5．设，则（）
C
+
⎰2-x
xf(x)dx=e f(x)=
2222
-x-x-x-x
A.xe
B.-xe
C.2e
D.-2e
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+)+f(x-)的定义域是__________.
1
4
1
4
7．()()
2
lim1_________
n
n
a aq aq aq q
→∞
++++<=
8．arctan
lim_________
x
x
x
→∞
=
9.已知某产品产量为g时，总成本是，则生产100件产品时的边际成本
2
g
C(g)=9+
800
100
__
g=
=
M C
10.函数在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.
3
()2
f x x x
=+
11.函数的单调减少区间是___________.
32
29129
y x x x
=-+-
12.微分方程的通解是___________.
3
'1
xy y x
-=+
13.设___________.
2ln
,
6
a
a
π
==
⎰则
14.设则dz= _______.
2
cos x
z
y
=
15.设_____________.
{}2
(,)01,01y
D
D x y x y xe dxdy
-
=≤≤≤≤=
⎰⎰
，则
三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16.设，求dy.
1x
y x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
17.求极限0ln cot lim ln x x
x +→18.求不定积分
.
19.计算定积分I=
.
a
⎰
20.设方程确定隐函数z=z(x,y)，求。

2
z
x 2e 1y xz -+=','x y z z 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．要做一个容积为v 的圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r 和高h 分别为多少时，所用材料最省？
22.计算定积分20
sin x xdx
π
⎰
23.将二次积分化为先对x 积分的二次积分并计算其值。

⎰⎰
π
π=
0x
2
dy y
y sin
dx I 五、应用题（本题9分）24.已知曲线，求
2
y x =（1）曲线上当x=1时的切线方程；
（2）求曲线与此切线及x 轴所围成的平面图形的面积，以及其绕x 轴旋转而成的旋转体的体积
2
y x =.
x V 六、证明题（本题5分）
25．证明：当时，x>0ln(1
x x >参考答案
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1．答案：B
2．答案：A
3．答案：A
4．答案：C 5．答案：D
二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）
6．答案：13,44
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
a
n
g 7．答案：
1a q
-8．答案：0
9．答案：
1
41011．答案：（1，2）
12．答案：3
12
x Cx -+13．答案：ln 2
a =14．答案：21cos sin 2x xdx dy y y ⎛⎫
-+ ⎪
⎝⎭
15．答案：
()21
14
e --三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
16. 答案：()1ln 1x
x dx
x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
17．答案：-118C +19. 答案：
2
4
a π
20. 答案：2'
'
x
y z
z
22x Z Z 2e 2e xy z x x -==--，四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
21．答案：0020V r h r π===
22．答案：
2
4
π23. 答案：1
五、应用题（本题9分）
24. 答案：（1）（2）
，y=2x-111230
π
（2）
所求面积()
1
3
12
2
1121
(1
24312
y
S dy y y
⎡⎤
+
=-=+-=
⎢⎥
⎣⎦
⎰
所求体积()
12
22
11
1
325630
x
V x dx
πππ
ππ
=-⋅⋅⋅=-=
⎰
六、证明题（本题5分）25
．证明：
()ln(1
'()ln(
ln(
ln(
1
'()ln(0
f x x x
f x x
x
x
x
x
f x x
=-
∴=+-
=+
=+
>
∴>
∴=>
故当时单调递增，则即
x>()
f x()(0),
f x f
>
ln(1
x x+>-。