任课教师：李陶深教授tshli@任课教师：李陶深教授tshli@12 曲线的基本概念Bézier 曲线5曲线与曲面的概述 4 3 6 B 样条曲线NURBS 曲线 常用的曲面Bézier曲线是由法国雷诺汽车公司工程师的Pierre Bézier在1971年发明的一种构造样条曲线和曲面的方法, 用来进行雷诺汽车的车身设计, 现在Bézier曲线曲面广泛应用在计算机图形学中的外形设计, 以及字体表示中.◆Bé◆在折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上且作为曲线的起始处和终止处，其他的点用于控制曲线的形状及阶次。

◆曲线的形状趋向于多边形折线的形状，要修改曲线，只要修改折线的各顶点就可以了。

多边形折线又称的控制多边形，其顶点称为控制点。

6.3 Bézier 曲线—曲线的定义Bézier 曲线是由一组控制顶点和Bernstein 基函数混合(blending)得到的曲线.()[],0(), 0,1n i i n i t B t t ==∈∑C P 其中, P i (i =0,1,…,n)称为控制顶点; 顺序连接控制顶点生成控制多边形.()()[],1,0,1n i i i i n n B t C t t t -=-∈为Bernstein 基函数.Bézier 曲线的次数, 就是Bernstein 基函数的次数; Bézier 曲线的阶数, 就是控制顶点的个数. 阶数为次数加1.6.3 Bézier曲线—定义（2）给定空间n+1个点的位置矢量P i（i=0，1，2，…，n），则n次Bézier曲线上各点坐标的插值公式定义为：B i,n(t)是n次Bernstein基函数P i构成该Bézier曲线的特征多边形6.3 Bézier曲线—曲线的定义（3）Bézier曲线曲线的形状趋于特征多边形的形状①正性②权性由二项式定理可知：③对称性: 若保持原全部顶点的位置不变, 只是把次序颠倒过来, 则新的Bézier曲线形状不变, 但方向相反。

④③对称性:④递推性:高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成⑤导函数①端点性质(a)端点位置矢量当t=0时，C(0)=P0；当t=1时，P(1)=P nBézier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合(b)切矢量：Bézier 曲线在点P 0处与P 0P 1相切, 在点P n 处与P n -1P n 相切.当t =0时，C ’(0)=n (P 1-P 0)，当t =1时，C ’(1)=n (P n -P n -1)，Bézier 曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。

()()()[]()()()()11,11010, 0,1; 0,1.n i i i n n n i t n B t t n n -+--='''=-∈=-=-∑C P P C P P C P P(c)曲率当t=0时，当t=1时，2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关将、及、代入曲率公式，可得到Bézier曲线在端点的曲率分别为：(d) r阶导函数的差分表示n次Bezier曲线的r阶导数可用差分公式为：其中②对称性由控制顶点构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反.因为：这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。

③凸包性由于，且，这一结果说明当t在[0，1]区间变化时，对某一个t值，C(t)是的加权平均，权因子依次是特征多边形各顶点Pi在几何图形上，意味着Bezier曲线C(t) 是控制点P i的凸线性组合，并且曲线上各点均落在Bézier特征多边形构成的凸包之中。

④几何不变性.这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。

Bézier 曲线位置与形状与其特征多边形顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择.⑤变差缩减性.若Bézier曲线的特征多边形是一个平面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。

此性质反映了Bézier曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说Bézier曲线比特征多边形的折线更光顺.一次多项式，有两个控制点，其数学表示及矩阵表示为：显然，这是一条连接P0、P1的直线段。

6.3 Bézier 曲线—一次Bézier 曲线(n =1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=+==∑=10101,111,0011,0111]1[)1()()()()(P P ttP P t t B P t B P t BP t Q i i iin i n i t t i n i n t B ---=)1()!(!!)(,]1,0[∈t二次多项式，有三个控制点，其数学表示及矩阵表示为：由上式的结果可知，二次Bezier 曲线为抛物线。

将上式改写为矩阵形式：i n i ni t t i n i n t B ---=)1()!(!!)(,0012012221022,222,112,0022,)(2)2()1(2)1()()()()()(P t P P tP P P P t P t t P t t B P t B P t B P t BP t Q ii i +-++-=+-+-=++==∑⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2102001022121]1[)(P P P ttt Q ]1,0[∈t ]1,0[∈t三次多项式，有四个控制点，其数学表示如下：其矩阵形式为 332212033,333,223,113,0033,)1(3)1(3)1()()()()()()(P t P t t P t t P t t B P t B P t B P t B P t B P t Q ii i +-+-+-=+++==∑]1,0[∈t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=3210230001003303631331]1[)(P P P P t ttt Q6.3 Bézier 曲线—n 次Bézier 曲线给定n 次Bézier 曲线的控制顶点P 0, P 1, …, P n , 和参数t , 令：则 就是n 次Bézier 曲线上参数为t 处的点.1111,...,; 0,...,()(1)()(), ()r r r i ii i i r n i n rt t t t t P u P --+==-⎧=-+⎨=⎩P P P其中()0nt P已知四个控制顶点P 0(4,0,0), P 1(6,1,1),P 2(8,-3,2), P 3(10,0,1)，以这四个点作为控制多边形构造一条三次Bézier 曲线，写出曲线的参数方程.332212033,333,223,113,0033,)1(3)1(3)1()()()()()()(P t P t t P t t P t t B P t B P t B P t B P t B P t Q ii i +-+-+-=+++==∑6.3 Bézier 曲线— Bézier 曲线实例计算Bézier曲线上的点，可用Bézier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。

设、、是一条抛物线上顺序三个不同的点。

过和点的两切线交于点,在点的切线交和于和，则如下比例成立：这是所谓抛物线的三切线定理。

几何设计中，一条Bézier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。

这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bézier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。

所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。

下面讨论两段Bézier曲线达到不同阶几何连续的条件。

假设两段三次Bezier 曲线B 1和B 2的控制点分别为P 0、P 1、P 2、P 3和Q 0、Q 1、Q 2、Q 3，讨论满足连续的条件。

(1) 满足C 0连续。

即只要P 3和Q 0为同一点即可。

(2) 满足G 1连续。

端点处对t 一阶导数为， 和二者成比例即为G 1连续：)(3)0(01'2Q Q B -=)(3)1(23'1P P B -=)0()1('2'1B B α=)(0123Q Q P P -=-α当 时, 达到C 1连续即：P 2、P 3(Q 0)、Q 1三共线要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，并满足:•密切平面重合, 副法线矢量同向•曲率相等两段Bezier曲线的连接6.3 Bézier曲线—反求Bézier的控制点例：已知三次Bezier曲线上的4个点分别为Q0(120, 0)，Q1(45, 0)，Q2(0, 45)，Q3(0, 120), 其对应的参数分别为0， 1/3，2/3，1，反求三次Bezier曲线的控制顶点.解:由已知条件可得方程组：Q0 = P0 (t=0)Q1 = (8/27)P0 + (4/9)P1 + (2/9)P2 + (1/27)P3 (t=1/3)Q2 = (1/27)P0 + (2/9)P1 + (4/9)P2 + (8/27)P3 (t=2/3)Q3 = P3 (t=1)分别将Q0、Q1、Q2、Q3的x、y坐标代入方程组求解得：P0(120, 0), P1(35, -27.5), P2(-27.5, 35), P3(0, 120)6.3 Bézier曲线—Bézier曲线的升阶(1)通过增加控制顶点，不改变原来曲线的形状, 提高对曲线的灵活控制，还在构造曲面方面有着重要的应用.将n次的Bézier曲线表示为n+1次的Bézier曲线, 称为Bézier曲线的升阶。

升阶后，原控制顶点会发生变化，控制多边形更加贴近Bézier曲线。

设给定原始控制顶点 , 定义了一条n次Bézier曲线：增加一个顶点后，定义同一条曲线的新控制顶点则有：左边乘以(t+(1-t))比较等式两边项的系数，☐新控制点P*是原特征多边形在参数值i/(n+1)处线性插值得到。