3. 综合应用动力学和能量守恒知识分析多过程问题
典型例题
[例1] (高考全国卷Ⅰ)如图,一轻弹簧原长为2R ,其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC 的底端A 处,另一端位于直轨道上B 处,弹簧处于自然状态。
直轨道与一半径为5
6R 的光滑圆弧轨道相切于C 点,AC ＝
7R ,A 、B 、C 、D 均在同一竖直平面内。
质量为m 的小物块P 自C 点由静止开始下滑,最低到达E 点(未画出),随后P 沿轨道被弹回,最高到达F 点,AF ＝4R .已知P 与直轨道间的动摩擦因数μ＝1
4
,重力加速度大小为
g .(取sin 37°＝35,cos 37°＝45
)
(1)求P 第一次运动到B 点时速度的大小。
(2)求P 运动到E 点时弹簧的弹性势能。
(3)改变物块P 的质量,将P 推至E 点,从静止开始释放。
已知P 自圆弧轨道的最高点D 处水平飞出后,恰好通过G 点。
G 点在C 点左下方,与C 点水平相距7
2
R 、竖直相距R .求P 运动到D 点时速度的大小和改变后
P 的质量。
解析 (1)根据题意知,B 、C 之间的距离l 为
l ＝7R －2R ＝5R
①
设P 到达B 点时的速度为v B ,由动能定理得
mgl sin θ－μmgl cos θ＝1
2
mv 2B
②
式中θ＝37°.联立①②式并由题给条件得
v B ＝2gR ③
(2)设BE ＝x .P 到达E 点时速度为零,此时弹簧的弹性势能为E P .P 由B 点运动到E 点的过程中,由动能定理有
mgx sin θ－μmgx cos θ－E p ＝0－1
2
mv 2B ④
E 、
F 之间的距离l 1为 l 1＝4R －2R ＋x
⑤
P 到达E 点后反弹,从E 点运动到F 点的过程中,由动能定理有 E p －mgl 1sin θ－μmgl 1cos θ＝0
⑥
联立③④⑤⑥式并由题给条件得
x ＝R ⑦ E p ＝125
mgR
⑧
(3)设改变后P 的质量为m 1.D 点与G 点的水平距离x 1和竖直距离y 1分别为
x 1＝72R －56
R sin θ ⑨ y 1＝R ＋5
6
R ＋56
R cos θ
⑩
式中,已应用了过C 点的圆轨道半径与竖直方向夹角仍为θ的事实。
设P 在D 点的速度为v D ,由D 点运动到G 点的时间为t .由平抛运动公式有
y 1＝1
2
gt 2
⑪ x 1＝v D t
⑫
联立⑨⑩○
11○12式得 v D ＝
3
5
5gR ⑬
设P 在C 点速度的大小为v C .在P 由C 运动到D 的过程中机械能守恒,有 12m 1v 2C ＝12m 1v 2D ＋m 1g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫56R ＋56R cos θ
⑭
P 由E 点运动到C 点的过程中,同理,由动能定理有 E p －m 1g (x ＋5R )sin θ－μm 1g (x ＋5R )cos θ＝1
2
m 1v 2C
⑮
联立⑦⑧⑬⑭⑮式得
m 1＝1
3
m
⑯
答案 (1)2gR (2)125mgR (3)355gR 1
3
m
[例2]。
如图所示,倾角θ＝37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上,在斜面顶端固定一个半径和质量不计的光滑定滑轮D ,质量均为m ＝1 kg 的物体A 和B 用一劲度系数k ＝240 N/m 的轻弹簧连接,物体B 被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板P 挡住。
用一不可伸长的轻绳跨过定滑轮使物体A 与质量为M 的小环C 连接,小环C 穿过竖直固定的光滑均匀细杆,当整个系统静止时,环C 位于Q 处,绳与细杆的夹角α＝53°,且物体B 对挡板P 的压力恰好为零。
图中SD 水平且长度为d ＝0.2 m,位置R 与位置Q 关于位置S 对称,轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行。
现让环C 从位置R 由静止释放,sin 37°＝0.6,cos 37°＝0.8,g 取10 m/s 2
.求：
(1)小环C 的质量M ；
(2)小环C 通过位置S 时的动能E k 及环从位置R 运动到位置S 的过程中轻绳对环做的功W T ； (3)小环C 运动到位置Q 的速率v .
解析：(1)先以AB 组成的整体为研究对象,AB 系统受到重力、支持力和绳子的拉力处于平衡状态,则绳子的拉力为：
T ＝2mg sin θ＝2×10×sin 37° N＝12 N
以C 为研究对象,则C 受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态,如图1所示,则：
T ·cos 53°＝Mg
代入数据得：M ＝0.72 kg
(2)由题意,开始时B 恰好对挡板没有压力,所以B 受到重力、支持力和弹簧的拉力,弹簧处于伸长状态；产生B 沿斜面方向的受力：F 1＝mg sin θ＝1×10×sin 37°＝6 N
弹簧的伸长量：Δx 1＝mg sin θ/k ＝0.025 m 当小环C 通过位置S 时A 下降的距离为
x A ＝
d
sin α
－d ＝0.05 m 此时弹簧的压缩量Δx 2＝x A －Δx 1＝0.025 m
由速度分解可知此时A 的速度为零,所以小环C 从R 运动到S 的过程中,初末态的弹性势能相等,对于小环C 、弹簧和A 组成的系统机械能守恒有：Mgd cot α＋mgx A sin θ＝E k
解得：E k ＝1.38 J
环从位置R 运动到位置S 的过程中,由动能定理可知：
W T ＋Mgd cot α＝E k
解得：W T ＝0.3 J
(3)环从位置R 运动到位置Q 的过程中,对于小环C 、弹簧和A 组成的系统机械能守恒
Mg (2d cot α)＝1
2Mv 2＋12
mv 2A
对环在Q 点的速度进行分解如图2所示,则：
v A＝v cos α
两式联立可得：v＝2 m/s
答案：(1)小环C的质量是0.72 kg；
(2)小环C通过位置S时的动能E k是1.38 J,环从位置R运动到位置S的过程中轻绳对环做的功是0.3 J；
(3)小环C运动到位置Q的速率是2 m/s.
方法总结
涉及做功与能量转化问题的解题方法
1。
分清是什么力做功,并且分析该力做正功还是做负功；根据功能之间的对应关系,判定能的转化形式,确定能量之间的转化情况。
2。
当涉及摩擦力做功时,机械能不守恒,一般应用能的转化和守恒定律,特别注意摩擦产生的内能Q＝F f x x相对为相对滑动的两物体间相对滑动路径的总长度。
相对,
3。
解题时,首先确定初、末状态,然后分清有多少种形式的能在转化,再分析状态变化过程中哪种形式的能量减少,哪种形式的能量增加,求出减少的能量总和ΔE减和增加的能量总和ΔE增,最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。