2-7 单位反馈系统的开环传递函数已知如下
G (s) 5s 100 s ( s 4.6)( s 2 3.4s 16.35)
用 matlab 语句 、函数求取系统闭环零极点，并求取系统闭环状态方程的可控标 准型实现。 解： 已知开环传递函数， 求得闭环传递函数为 G ( s ) 在 matlab 命令行里键入>> a=[1 0]; >> b=[1 4.6]; >> c=[1 3.4 16.35]; >> d= 100 s ( s 4.6)( s 3.4s 16.35) 5s 100
2
>> e=conv(d,c)
1.0000
g = 1.0000
>> f=[0 0 0 5 100]; >> g=e+f
8.0000
8.0000
31.9900
75.2100
0
31.9900
80.2100
-1.5000 -1.5000
P= -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i -1.5000 K = 4.0000
表达式 G ( s )
s+0.5-0.866i s+0.5+0.866i s+1.5
4 s+1-1.2247i s+1+1.2247i
5
球棒系统的旋转动能为
K rot
1 1 v I1 2 I 2 ( )2 2 2 r
因而，系统总的动能 K K trans K rot 等于
K 1 1 ( I1 mx 2 ) 2 mv 2 2 2
其中 1
I2 1 为常数。 mr 2
此系统的拉格朗日方程组为
（3）部分分式形式的模型参数：编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.5 2.25 -4.25 -1.25 -0.25 0.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75]；
3
>> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2]; >> D=[0]; >> [num den]=ss2tf(A,B,C,D) >> [R,P,H]=residue(num,den)
b1s n 1 ... bn 1s bn 时，可控标准型为： s n a1s n 1 ... a n 1s a n
0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 A ; B ； C bn bn 1 b1 ; D 0 0 0 1 0 1 an a1 . x1 0 1 0 0 x1 0 . x x2 0 0 1 0 2 0 u . 0 0 1 x3 0 x3 0 . 100 80.21 31.99 8 x4 1 所以可控标准型是 x4 x1 x 2 Y [100 5 0 0] [0]u x3 x4
1
2-2.用 matlab 语言求下列系统的状态方程、传递函数、零极点增益、和部分分式形式 的模型参数，并分别写出其相应的数学模型表达式：
(1) G （ s） =
s 3 7 s 2 24s 24 s 4 10s 3 35s 2 50s 24 4 X 2 u 2 0
得到结果 num = 0 den =1.0000 4.0000 4.0000 14.0000 6.2500 22.0000 5.2500 15.0000 2.2500
4 s 3 + 14 s 2 + 22 s + 15 G (s) 4 s + 4 s3 + 6.25 s 2 + 5.25 s + 2.25
-10 -35 -50 -24 1 1 0 0 0 0 得到结果：A= ,B= ,C= 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 -10 -35 -50 -24 1 0 . 1 0 0 0 所以模型为: X = X+ u,y= 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
2-11 如图 2-27 所示斜梁滚球系统，若要研究滚球在梁上的位置可控性，需首先建立其 数学模型，已知力矩电机的输出转矩 M 与其电流 i 成正比，横梁为均匀可自平衡梁（即 当电机不通电且无滚球时，横梁可处于 =0 的水平状态） ，是建立系统的数学模型，并 给出简化后系统的动态结构图。 解：设球的质心到杆的距离为 0，该系统为特殊情况下的球棒系统。另令 I1 , m, I 2 分 别表示棒的惯量、球的质量和球的惯量。则球质心的位置和速度为
(2) 零极点增益模型参数:编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.5 2.25 -4.25 -1.25 -0.25 0.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75]； >> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2]; >> D=[0]; >> [Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D) 得到结果 Z =-1.0000 + 1.2247i -1.0000 - 1.2247i
设系统在平衡点附近 0 ， cos 1 ， sin ，则系统方程可化为
x mg 0 m 2 ( I1 mx ) mgx ki

对上式进行拉普拉斯变换并化简后可得到 参考文献：
X (s) 。 I (s)
[1] Hauser, S. Sestry, and P. Kokotovic. “Nonlinear control via approximate input-output linearization”. IEEE Trans. on Automatic Control, vol.37:pp.392-398, 1992. [2] R. Sepulchre. “Slow peaking and low-gain designs for global stabilization of nonlinear systems”. submitted for IEEE TAC 1999. [3] R. Sepulchre, M. Jankovic, and P. Kokotovic Constructive Nonlinear Control. Springer-Verlag, 1997. [4] R. Teel. “Using Saturation to stabilize a class of single-input partially linear composite systems”. IFAC NOLCOS'92 Symposium, pages 369-374, June 1992. 2-12 如图 2-28 所示双水箱系统中， qin 为流入水箱 1 的液体流量， qout 为流出水箱 2 的 液体流量，试依据液容与液阻的概念，建立 Qout (s ) [Qin (s ), H 1(s ), Q1(s ), H 2 (s )] 的系统动 态结构图。 解：根据液容和液阻的概念，可分别列出两个水箱的数学模型
2
G(s)=
4 6 2 1 s 4 s 3 s 2 s 1
（2）解： （1）传递函数模型参数：编写程序>> A=[2.25 -5 -1.25 -0.5 2.25 -4.25 -1.25 -0.25 0.25 -0.5 -1.25 -1 1.25 -1.75 -0.25 -0.75]； >> B=[4 2 2 0]'; >> C=[0 2 0 2]; >> D=[0]; >> [num den]=ss2tf(A,B,C,D)
2-1 思考题： （1）数学模型的微分方程，状态方程，传递函数，零极点增益和部分分式五种形式， 各有什么特点？ （2）数学模型各种形式之间为什么要互相转换？ （3）控制系统建模的基本方法有哪些？他们的区别和特点是什么？ （4）控制系统计算机仿真中的“实现问题”是什么含意？ （5）数值积分法的选用应遵循哪几条原则？ 答： （1）微分方程是直接描述系统输入和输出量之间的制约关系，是连续控制系统其他 数学模型表达式的基础。状态方程能够反映系统内部各状态之间的相互关系，适用于多 输入多输出系统。传递函数是零极点形式和部分分式形式的基础。零极点增益形式可用 于分析系统的稳定性和快速性。利用部分分式形式可直接分析系统的动态过程。 （2）不同的控制系统的分析和设计方法，只适用于特定的数学模型形式。 （3）控制系统的建模方法大体有三种：机理模型法，统计模型法和混合模型法。 机理模型法就是对已知结构，参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，经过合理的 分析简化建立起来的各物理量间的关系。 该方法需要对系统的内部结构和特性完全的了 解，精度高。统计模型法是采用归纳的方法，根据系统实测的数据，运用统计规律和系 统辨识等理论建立的系统模型。该方法建立的数学模型受数据量不充分，数据精度不一 致，数据处理方法的不完善，很难在精度上达到更高的要求。混合法是上述两种方法的 结合。 （4） “实现问题”就是根据建立的数学模型和精度，采用某种数值计算方法，将模 型方程转换为适合在计算机上运行的公式和方程， 通过计算来使之正确的反映系统各变 量动态性能，得到可靠的仿真结果。 （5）数值积分法应该遵循的原则是在满足系统精度的前提下，提高数值运算的速 度和并保证计算结果的稳定。
(2) 零极点增益:编写程序