小专题3 小船渡河问题【知识清单】1.合运动与分运动的关键特征（i）等时性合运动与分运动是同时发生的，所用时间相等，可由任一分运动或合运动求解小船运动的时间。

（ii）等效性合运动的效果与几个分运动叠加后后的共同效果完全相同。

（iii）独立性一个物体同时参与几个分运动，各个分运动相互独立，任一分运动不受其它分运动的影响。

2.小船渡河问题的处理方法设小船在静止水中的匀速运动的速度是v1，均匀流动的河水的速度是v2 , 河宽为d。

又设v1与河岸的夹角为θ( 0≤θ≤1800），合速度v与河岸夹角为ϕ。

（i）分解法如图1 ，沿平行于河岸与垂直于河岸的方向上建立直角坐标系，将v1分解为v1x=v1cosθ和v1y =v1sinθ ,则v x= v1x +v2 =v1cosθ+ v2、v y=v1y = v1sinθ。

①合速度2122122)sin()cos(θθvvvvvvyx++=+=211cossintanvvvvvxy+==θθϕ②合位移212211)sin()cos(sinsinθθθϕvvvvdds++==③渡河时间θsin1vdvst==图1（ii ）合成法如图2，通常用于图示中能出现直角三角形的特殊情况下。

3.小船的运动速度与轨迹当小船在静水中航行的速度、水流的速度恒定时，小船的运动速度恒定，运动轨迹是一直线。

当小船相对静水的速度变化时、水流的速度随时间或空间变化时，小船的速度是变化的，任一时刻的速度由该瞬时水流速度与小船相对静水的航速决定，运动轨迹一般为曲线。

4.极值问题（i ）最短时间 由θsin 1v d t =可以看出，小船渡河的时间取决于河的宽度、小船相对于静水航行的速度大小及方向，与水流的速度大小无关。

如图 2中甲所示，当 2πθ=时，即船头指向与河岸垂直，渡河时间最短：1min v d t = （ii ）最短航程①若v 1>v 2由1)sin cos (sin )sin ()cos (212122121221++=++=θθθθθv v v d v v v v d s可知当 v 1cosθ+v 2=0 时s min =d ，此时2arccos 12ππθ>-=v v ，船头指向上游，如图2中乙所示。

这时由v 1cosθ+v 2=0可知船相对于静水的速度v 1 沿河岸向上分量与水流速相等，此时合速度方向垂直图2于河岸即2πϕ=，渡河的位移最小。

②若v 1<v 2由 212221212212222122121221)sin cos (sin )sin ()cos (sin )sin ()cos (v v v v v d v v v v d v v v v d s ++=++=++=θθθθθθθθ可知当 v 1 +v 2cosθ=0，有d v v s 12min =，此时2arccos 21ππθ>-=v v ，船头指向上游，如图2中丙所示。

从另一角度看，由于v 1<v 2，此时不论船的航向如何，总是被水冲向下游，要使小船的位移最短，则应使小船被水冲向下游的距离最短，即应使小船的合速度方向与河岸夹角ϕ最大。

如图2丙，以v 2的矢尖为圆心，v 1为半径画圆，当v 与圆相切时，ϕ角最大，即当船头的指向与小船的合速度垂直时小船的位移最小。

由图中几何关系有： 船头指向21)cos(v v =-θπ，即21arccos v v -=πθ 合速度2122v v v -=，21221tan v v v -=ϕ 船沿河漂下的最短距离θθsin )cos (112min v d v v x ⋅+= 小船的最短位移12min cos v dv d s ==θ （iii ）最小速度在小船渡河时，若对小船被水流沿河冲下的距离加以限制时，或者对小船实际运动的方向加以限制时，则小船相对于静水航行的速度存在一个最小值。

如图3，河宽为d ，小船渡河时允许被水流冲下的距离不超过s ，水流速度为v 2。

设小船的最小速度为v 1，船头指向与河岸上游间的夹角为θ时小船恰好在到达对岸时被冲下的距离为s 。

由t )sin (1θv d =、()t cos s 12θv v -=有)sin(cos sin 22221αθθθ++=+=d s d v d s d v v 其中sd =αtan 。

可见当s d arctan 2-=πθ时222min 1d s dv v +=由图中可以看到，此时ϕα=，即此时船头的指向与小船的合速度垂直，故也可通过作图法确定小船的最小速度：以v 2的顶点为圆心，以v 1的大小为半径作圆，小船以最小速度恰好能按要求到达对岸时，小船航线恰在出发点与对岸临界点的连线上，且船的最小速度v 1与该连线垂直，由几何关系可得2221min v v sin s d d +=＝ϕ，即222min 1d s dv v +=。

【考点题组】【题组一】单船运动的极值1.已知河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，且v 2>v 1，下面用小箭头表示小船及船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、最短位移渡河的情景图示依次是A.①②B.①⑤C.④⑤D.②③2.小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )A ．水速大时，位移大，但时间不变B ．水速大时，位移大，时间也大C ．水速小时，位移小，时间也小D ．位移、时间大小与水速大小无关3.小船在宽为d=200m 的河中匀速横渡，船在静水中的速度为v 1=4m/s ，水流速度是v 2=2m/s ，当小船的船头沿始终正对对岸时，则小船（ ）A ．到达对岸所用时间为50sB ．到达对岸所用时间为100sC ．在出发点正对岸下游50m 处到达D ．在出发点正对岸下游200m 处到达4.某人划船渡一条河，当划行速度和水流速度一定，且划行速度大于水流速度时，过河的最短时间是t 1;若以最小位移过河，需时间t 2，则船速v 1 与水速v 2 之比为 BA ．t 2∶t 1B ．t 2∶2122t t - C ．t 1∶（t 1－t 2） D ．t 1∶t 25.一小船在静水的速度为3m/s ，它在一条河宽150m ，水流速度为4m/s 的河流中渡河，则该小船（ ）A ．能到达正对岸B ．渡河的时间可能少于50sC ．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200mD ．以最短位移渡河时，位移大小为150m6.如图所示，一条小船位于200 m 宽的河正中A 点处，从这里向下游100 3 m 处有一危险区，当时水流速度为4 m/s ，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是( )A.433 m/sB.833m/s C ．2 m/s D ．4 m/s【题组二】单船运动的轨迹、动态等问题1.已知河水自西向东流动，流速为,1υ小船在静水中的速度为,2υ且2υ＞1υ，用小箭头表示船头的指向及小船在不同时刻的位置，虚线表示小船过河的路径，则下图中可能的是CD6图2.小河宽80m，河中各点水流速度与各点到较近河岸边的距离关系为1，一小船kxv，=s1.0-=k水m s速度垂直河岸渡河，则下列说法中正确的是（）以4/A.小船渡河时的轨迹为直线B.小船渡河时的轨迹为曲线m sC.小船到达距河岸对岸20m处，船的渡河速度为45/m sD.小船到达距河岸对岸50m处，船的渡河速度为5/3.小船过河时，船头偏向上游且与水流方向成α角，船相对静水的速度大小为v，其航线恰好垂直于河岸，现水流速度稍有增大，为保持航线和到达对岸的时间不变，下列措施中可行的是（）A．减小α角，增大船速v B．α角和船速v均增大C．保持α角不变，增大船速v D．增大α角，保持船速v不变4.船在静水中的航速是1 m/s，河岸笔直，河宽恒定，河水靠近岸边的流速为2 m/s，河中间的流速为3 m/s.。

以下说法中正确的是（）A.船不能垂直河岸过河B.船不能沿一直线过河C.因船速小于流速，船不能到达对岸D.船过河的最短时间是一定的5.一快艇要从岸边某一不确定位置处到达河中离岸边100m远的一浮标处，已知快艇在静水中的速度图象和水流的速度图象如图甲、乙所示，则下列说法中正确的是（）A. 快艇的运动轨迹为直线B. 快艇的运动轨迹为曲线C. 快艇最快到达浮标处的时间为20sD. 快艇最快到达浮标处经过的位移大于100m6.小船横渡一条河，船本身提供的速度大小方向都不变。

已知小船的运动轨迹如图所示，则河水流速 （ ）A ．越接近B 岸水速越大B ．越接近B 岸水速越小C ．由A 到B 水速先增后减D ．水流速度恒定【题组三】多船或多过程的对比1.如图所示为一条河流，河水流速为v 。

一只船从A 点先后两次渡河到对岸，船在静水中行驶的速度为u 。

第一次船头向着AB 方向行驶，渡河时间t l ，船的位移s 1；第二次船头向着AC 方向行驶，渡河时间t 2，船的位移s 2。

若AB 、AC 与河岸的垂线的夹角相等，则有A. t l >t 2 s 1<s 2B. t 1<t 2 s 1>s 2C. t 1=t 2 s 1<s 2D. t 1=t 2 s l >s 22.有一条两岸平直、河水均匀流动，流速恒为v 的大河，一条小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为32v，回程与去程所用时间之比为：A ．3：2B ．2：1C ．3：1D ．1:323.如图所示，一艘走私船在岸边A 点，以速度v 0匀速地沿垂直岸的方向逃跑，距离A 点为34a 处的B 点的快艇同时启动追击，快艇的速率u 大小恒定，方向总是指向走私船，恰好在距离岸边距离a 处1图 6 图逮住走私船，那么以下关于快艇速率的结论正确的是(A)A ．快艇在垂直岸边的方向上的平均速度u y ＝v 0B ．快艇在沿岸的方向上的平均速度u x ＝v 0C ．快艇平均速度的大小u ＝54v 0 D ．快艇的平均速率等于54v 04.如图所示，甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为H ，河水流速为u ，划船速度均为v ，出发时两船相距H 332，甲、乙船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达对岸的A 点，则下列判断正确的是（ ）A ．甲、乙两船到达对岸的时间不同B ．两船可能在未到达对岸前相遇C ．甲船在A 点右侧靠岸D ．甲船在A 点靠岸5.甲、乙两船在同一河流中同时开始渡河，河水流速为v 0，船在静水中的速率均为v ，甲、乙两船船头均与河岸成θ角，如图所示，已知甲船恰能垂直到达河正对岸的A 点，乙船到达河对岸的B 点，A 、B 之间的距离为L ，则下列判断正确的是（ ）A ．乙船先到达对岸B ．若仅是河水流速v 0增大，则两船的渡河时间都不变C ．不论河水流速v 0如何改变，只要适当改变θ角，甲船总能到达正对岸的A 点D ．若仅是河水流速v 0增大，则两船到达对岸时，两船之间的距离仍然为L6.甲乙两船在静水中航行的速度分别为v 1、v 2，两船从同一渡口向河对岸划去，已知甲想以最短的时间过河，乙船想以最短的航程过河，结果两船到达对岸的地点恰好相同，假设河水的流速不变，则甲乙两船的渡河时间之比t 1:t 2为A.2122:v v B 。