20
7.6 证明：根据
∑n
n
n = 1 ，有
C0 = e
n
1 2 − α iδ 2
e ， δ 为实数
（6）
H = H ∑ n n = ∑ H n n = ∑ En n n
n n
通常，可取 C0 为正实数，即取 δ = 0 ；这时
9.1 证明：消灭算符 a 对于能量本征态 n 的作用结果为[参阅 9.1 节式（22）]
A2 = B 2 = C 2 = 1 ，
BC − CB = iA ，
由 A = 0 ，可以得到， a4 = 0 . （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 最后，由 A A + AA = 1 （反对易关系） ，可以得到 a2
† †
2
= 1 ，即 a2 = eiα （ α 为实数）.
B 分别左乘、右乘式（2）并利用式（1）得 C − BCB = iBA ， BCB − C = iAB .
⎛ 0 b⎞ 设 b2 = b = b 可得到 B = ⎜ −1 ⎟， 0⎠ ⎝b
−1 3
=−
同理可得 C = ⎜
⎛ 0 c⎞ ⎟. −1 0⎠ ⎝c
7.4
解：
( x ) p ' p '' =
( p ) p ' p '' =
由 BC − CB = iA ， b, c 满足下式
⎛ ∂ ⎞ ∂ p ' x p '' = ∫ δ ( p − p ' ) ⎜ i= ⎟ δ ( p − p '') dp = i= δ ( p '− p '') ； ∂p ' ⎝ ∂p ⎠
2
=−
由 AB + BA = 0 得到， b1 = b4 = 0 ；在由 B = 1 得到 b2b3 = 1 .
=2 ∂2 δ ( x − x ') 2 δ ( x − x '') dx + ∫ δ ( x − x ') V ( x ) δ ( x − x '') dx ∂x 2m ∫ =2 ∂ 2 δ ( x '− x '') + V ( x ') δ ( x '− x '') . 2m ∂x '2
α = ∑ Cn n = e
n
1 2 ∞ − α 2
∑
n =0
αn
n!
n
（7）
a n = n n −1
（1）
这就是算符 a 的本征态；由于 a 并非 Hermite 算符，所以本征值 α 原则上可以取任意复数； 式（7）中 n 台的成分为
2
和 a 不对易） 除 n = 0 以外，一般 n 不是算符 a 的本征台（根源于 n ，而且，上式表明 a 的
式（3）加上式（4）有
于是 A = ⎜
⎛ 0 eiα ⎞ ⎟. ⎝0 0 ⎠
AB + BA = 0 . 同理可以证明 AC + CA = 0 ， AB + BA = AC + CA = 0 .
（b） A = 1 ，在 A 表象下， A = ±1 ；又无简并，则在 A 表象下
2
7.3
解：
( x ) x ' x '' =
2
∑
n
α2
n!
n
=1
由于
∑
n=0
∞
α
2n
n!
=e
α
2
所以
21
22
( p ) x ' x '' =
( H ) x ' x '' =
x ' x x '' = ∫ δ ( x − x ') xδ ( x − x '' ) dx = x ' δ ( x '− x '') ；
∂ ⎞ ∂ ⎛ x ' p x '' = ∫ δ ( x − x ' ) ⎜ −i= ⎟ δ ( x − x '' ) dx = −i= δ ( x '− x '') ； ∂x ⎠ ∂x ' ⎝
⎡ p2 ⎤ x ' H x '' = ∫ δ ( x − x ') ⎢ + V ( x ) ⎥ δ ( x − x '' ) dx m 2 ⎣ ⎦
⎛1 0 ⎞ A=⎜ ⎟. ⎝ 0 −1 ⎠
令B =⎜
⎛ b1 ⎝ b3
b2 ⎞ ⎛ c1 ⎟ ，C = ⎜ b4 ⎠ ⎝ c3
c2 ⎞ ⎟， c4 ⎠
b 2 − c 2 = ibc .
7.2 解：
2
( H ) p ' p '' =
（a）证明：利用 A = 0 ，
=
B 2 = A† AA† A = A† A(1 − AA† ) = A† A − A† AAA† = A† A = B .
19
⎛ ∂ ⎞ p '2 δ ( p '− p '') + V ⎜ i= ⎟ δ ( p '− p '' ) . 2m ⎝ ∂p ' ⎠
p ' p p '' = ∫ δ ( p − p ' ) pδ ( p − p '') dp = p ' δ ( p '− p '') ； ⎡ p2 ⎛ ∂ ⎞⎤ p ' H p '' = ∫ δ ( p − p ') ⎢ + V ⎜ i= ⎟ ⎥ δ ( p − p '' ) dp m 2 ⎝ ∂p ⎠ ⎦ ⎣
α α = α ∑ Cn n = a ∑ Cn n = ∑ Cn n n − 1
n n n
以 n − 1 左乘上式，并利用正交归一条件
n ' n = δ n'n
即得
Cn =
α
n
Cn −1
（4）
依次递推，即得
Cn =
αn
n!
C0
（5）Biblioteka C0 为归一化常数，归一化条件为
α α = ∑ Cn = C0
2 n
本征态不可能由有限个 n 叠加而成，必须包含所有 n ；设
nα
= Cn =
2
α
2n
n!
e− α
2
α = ∑ Cn (α ) n
n =0
∞
呈 Poisson 分布；式（7）称为谐振子的相干态（ coherent state ）. （2 ）
满足本征方程
a α =α α
（3）
α 为本征值；利用式（1） ，即得
（b） B = B ，所以 B 的本征值为 0，1.又由于 B 的本征态无简并，则在 B 表象下
2
第五章作业参考答案
[曾谨言著《量子力学教程》(第二版) 习题 7: P141-142]
7.1 解： （a）证明：
⎛0 0⎞ B=⎜ ⎟. ⎝0 1⎠
令A=⎜
2
⎛ a1 ⎝ a3
a2 ⎞ † ⎟ ，由 A A = B ，可以得到， a1 = a3 = 0 . a4 ⎠