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量子力学习题答案

量子力学习题答案1.2 在0k 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。

解:由德布罗意波粒二象性的关系知: E h =ν; p h /=λ由于所考虑的电子是非相对论的电子(26k e E (3eV)c (0.5110)-μ⨯),故: 2e E P /(2)=μ69h /p h /hc /1.2410/0.7110m 0.71nm--λ====⨯=⨯= 1.3氦原子的动能是E=1.5kT ,求T=1K 时,氦原子的德布罗意波长。

解:对于氦原子而言,当K 1=T 时,其能量为J 102.07K 1K J 10381.1232323123---⨯=⨯⋅⨯⨯==kT E 于是有一维谐振子处于22/2()xx Ae αψ-=状态中,其中α为实常数,求:1.归一化系数;2.动能平均值。

(22x e dx /∞-α-∞=α⎰)解:1.由归一化条件可知:22*2x(x)(x)dx A e dx1A/1∞∞-α-∞-∞ψψ===α=⎰⎰取相因子为零,则归一化系数1/21/4A/=απ2.2222222222222222222*2x/2x/2222x/2x/222x/22x/22222x2x/222242x2T(x)T(x)dx A e(P/2)e dxdA e()e dx2dxdA e(xe)dx2dxA{xe(xe)dx}2A x e dx A22∞∞-α-α-∞-∞∞-α-α-∞∞-α-α-∞∞∞-α-α-∞-∞∞-α-∞=ψψ=μ=-μ=--αμ=--α--αμ=α=μμ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=()==2222224x2224x x2222222421()xd(e)21A(){xe e dx}221AA()2442∞-α-∞∞∞-α-α-∞-∞α-α=α---μαππααα--μαμμα⎰⎰若μωα,则该态为谐振子的基态,T4ω=解法二:对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题,用F-H定理是非常方便的。

一维谐振子的哈密顿量为:2222d 1H x2dx2=-+μωμ它的基态能量1E2=ω选择为参量,则:0dE 1d 2=ω;222dH d 2d 2()T d dx 2dx=-=-=μμ dH 20T d= 由F-H 定理知:0dE dH 2100T d d 2===ω 可得:1T 4=ω2.2 由下列定态波函数计算几率流密度: ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

解:分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。

表示向外传播的球面波。

rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见,r J与2反向。

表示向内(即向原点) 传播的球面波。

2.3 一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ,,,0 00)( 中运动,求粒子的能级和对应的波函数。

解:t x U 与)(无关,是定态问题。

其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dx d m ψψψ=+-在各区域的具体形式为Ⅰ: )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ: )()(2 0 22222x E x dx d m a x ψψ=-≤≤ ② Ⅲ: )()()()(2 333222x E x x U x dx d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中,由于∞=)(x U ,要等式成立,必须0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

方程(2)可变为0)(2)(22222=+x mEdx x d ψψ令222mEk =,得 0)()(22222=+x k dxx d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ,B ,由连续性条件,得)0()0(12ψψ= ⑤)()(32a a ψψ= ⑥⑤ 0=⇒B⑥0sin =⇒ka A),3 ,2 ,1( 0sin 0 ==⇒=∴≠n n ka ka A π∴x an A x πψsin )(2= 由归一化条件 1)(2=⎰∞dx x ψ得 1sin 022=⎰axdx an Aπ由a mn 0m n a sinx sin xdx a a 2ππ⨯=δ⎰x an a x aA πψsin 2)(22=∴=⇒222 mEk =),3,2,1( 22222 ==⇒n n maE n π可见E 是量子化的。

对应于n E 的归一化的定态波函数为⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=-a x a x a x xe an a t x tE in n , ,0 0 ,sin 2),( πψ 2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

解:221x 21(x)2xe-αψ=⋅α222223222112 24)()(xxe x e x x x ααπαπααψω--⋅=⋅⋅==22]22[2 )(3231x e x x dx x d ααπαω--= 令0 )(1=dxx d ω,得 ±∞=±==x x x 10α由)(1x ω的表达式可知,±∞==x x 0,时,0)(1=x ω。

显然不是最大几率的位置。

2222)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223322223212xx e x x ex x x x dx x d ααααπααααπαω----=---=而23121x d (x)160e dx=±αω=-<可见μωα±=±=1x 是所求几率最大的位置。

3.2.氢原子处在基态0/31),,(a r e a r -=πϕθψ,求:(1)r 的平均值;(2)势能re 2-的平均值;(3)最可几半径; (4)动能的平均值; (5)动量的几率分布函数。

解:(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=,ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时,为几率最小位置/222003022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。

(4)2222ˆ21ˆ∇-==μμ p T⎰⎰⎰∞--∇-=ππϕθθπμ02002/2/302 sin )(1200d drd r e e a T a r a r ⎰⎰⎰∞---=ππϕθθπμ02002/22/302 sin )]([11200d drd r e dr d r drd re a a r a r 0222/30041((2) 2r ar r e dr a a a μ∞-=---⎰2220204022)442(24a a a a μμ =-= (5) τϕθψψd r r p c p),,()()(*⎰= ⎰⎰⎰-∞-=ππθϕθθππ20cos 02/302/3 sin 1)2(1)(0d d edr r ea p c pr ia r⎰⎰-=-∞-πθθπππ0cos 0/2302/3)cos ( )2(20d edr er apr ia r⎰∞--=0cos /2302/30)2(2πθπππpr ia r eiprdr e r a⎰∞---=/302/3)()2(20dr e e re ip a pr ipria rπππ ])1(1)1(1[)2(22020302/3p i a p i a ip a+--=πππ2320022141()ipp ip a a π=+ 22220440033)(24+=p a a a a π222202/30)()2(+=p a a π动量几率分布函数422025302)(8)()(+==p a a p c p πω3.5 一刚性转子转动惯量为I ,它的能量的经典表示式是IL H 22=,L 为角动量,求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数: (1) 转子绕一固定轴转动: (2)转子绕一固定点转动:解:(1)设该固定轴沿Z 轴方向,则有 22Z L L =哈米顿算符 22222ˆ21ˆϕd d I L I H Z -== 其本征方程为 (t H与ˆ无关,属定态问题) )(2)( )()(2222222ϕφϕϕφϕφϕφϕIE d d E d d I -==-令 222IEm =,则0)()( 222=+ϕφϕϕφm d d取其解为 ϕϕφim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性,应有ϕπϕϕφπϕφim im e e =⇒=++)2()()2( 即12=πm i e∴m= 0,±1,±2,…转子的定态能量为Im E m 222 = (m= 0,±1,±2,…)可见能量只能取一系列分立值,构成分立谱。

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